最值反演学习笔记

关于用一个集合的子集的 min 求这个集合的 max 的问题。当然用 max 求 min 也可以。

考虑构造一个只和集合元素个数有关的 ( f( left | S ight | ) ) ，使得可以

( kthmax(S)=sumlimits_{T subseteq S} f( left | T ight | ) min(T) )

考虑第 i 大的元素被计算了几次，就是 ( sumlimits_{j=0}^{i-1}C_{i-1}^{j}f(j+1) )

　　第 i 大的元素作为 min(T) 出现，说明其它元素都是比它大的。

需要　　　　　  ( sumlimits_{j=0}^{i-1}C_{i-1}^{j}f(j+1) = [i=k] )

让 i 表示 i-1 　　( sumlimits_{j=0}^{i}C_{i}^{j}f(j+1) = [i=k-1] ) 

令 ( g(i)=[i=k-1]  ,  h(i)=f(i+1) ) 

则　　　　　　  ( sumlimits_{j=0}^{i}C_{i}^{j}h(j)=g(i) )

二项式反演　　  ( h(i) = sumlimits_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}C_{i}^{j}g(j) )

当 ( j=k-1 ) 时 ( g(j) ) 不为 0 ，所以　　( h(i)=(-1)^{i-k+1}C_{i}^{k-1} )

即　　　　　　( f(i) = (-1)^{i-k}C_{i-1}^{k-1} )

求第 k 大的话，只要统计元素个数 >=k 的集合即可。

思考：用 gcd(S) 表示 lcm(S) ？

设有 cnt 个质因子。( p_{i} ) 表示第 i 个质因子， ( t_{ji} ) 表示第 j 个元素的第 i 个质因子的指数。

( lcm(S)=prodlimits_{i=1}^{cnt}p_{i}^{ maxlimits_{_{j in S}} {t_{_{ji}}} } )

( gcd(S)=prodlimits_{i=1}^{cnt}p_{i}^{ minlimits_{_{j in S}} {t_{_{ji}}} } )

( lcm(S)=prodlimits_{i=1}^{cnt}p_{i}^{ sumlimits_{_{T subseteq S}}(-1)^{^{left | T ight | -1}} minlimits_{_{j in T}} {t_{_{ji}}} } )

指数上的 ( sum ) 就是底数上的 ( prod ) ，所以

( lcm(S)=prodlimits_{T subseteq S}gcd(T)^{ (-1)^{left | T ight | -1} } )