[HAOI 2015]按位或

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刚开始你有一个数字 (0) ，每一秒钟你会随机选择一个 ([0,2^n-1]) 的数字，与你手上的数字进行或（ ( ext{or}) ）操作。选择数字 (i) 的概率是 (p_i) 。保证 (0leq p_ileq 1) ， (sum_{i=0}^{2^n-1}p_i=1) 。问期望多少秒后，你手上的数字变成 (2^n-1) 。

(1leq nleq 20)

Solution

不妨假设第 (i) 秒后状态为 (S) 的概率为 (fp_{i,S})

显然 (i=1) 时， (fp_{1,S}=p_S) 。

注意到 (fp) 会满足这样的关系

[fp_{i,S} = sum_{L subseteq S} sum_{R subseteq S}^{} [L cup R = S] fp_{i-1,L} imes p_R]

记 (U=2^n-1) ，于是我们可以得到答案就是

[sum_{i=1}^infty i(fp_{i,U}-fp_{i-1,U})]

其中 (fp_{i,U}-fp_{i-1,U}) 表示恰好第 (i) 时变为 (U) 的概率。

记 (FP) 为 (fp) 的莫比乌斯变换，记 (P) 为 (p) 的莫比乌斯变换。显然 (FP_{i,S}=P_S^i) 。

那么对于集合 (S) 在莫比乌斯变换下得到的答案就是

[egin{aligned}&sum_{i=1}^infty i(P_S^i-P_S^{i-1})\=&egin{cases}-(P_S^0 +P_S^1+cdots+P_S^infty)&P_S<1\0&P_S=1end{cases}\=&egin{cases}-frac{1}{1-P_S}&P_S<1\0&P_S=1end{cases}end{aligned}]

然后再反演回去直接得到答案即可。复杂度 (O(n2^n)) 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 25, SIZE = (1<<20)+5;
const double eps = 1e-7;

int bin[N], n;
double p[SIZE];

void FMT(double *f, int o) {
    for (int i = 1; i < bin[n]; i <<= 1)
        for (int j = 0; j < bin[n]; j++)
            if (i&j) f[j] += f[j^i]*o;
}
void work() {
    scanf("%d", &n); bin[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) bin[i] = (bin[i-1]<<1);
    for (int i = 0; i < bin[n]; i++) scanf("%lf", &p[i]);
    FMT(p, 1);
    for (int i = 0; i < bin[n]; i++)
        if (fabs(p[i]-1) <= eps) p[i] = 0;
        else p[i] = 1./(p[i]-1.);
    FMT(p, -1);
    p[bin[n]-1] <= eps ? puts("INF") : printf("%.7lf
", p[bin[n]-1]);
}
int main() {work(); return 0; }