[BZOJ 2839]集合计数

Description

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有 (2^n) 个集合，每个集合只包含 ([1,n]) ，且这些集合两两不同。问有多少种选择方法（至少选一个），使得这些集合交集大小为 (k) 。

(0leq kleq nleq 1000000)

Solution

设 (f(n)) 为交集元素大于 (k) 的方案数，设 (g(n)) 为交集元素等于 (k) 的方案数。

容易得到

[f(k)=sum_{i=k}^n{ichoose k}g(i)Rightarrow g(k)=sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}{ichoose k}f(i)]

并且 (f(i)={nchoose i}2^{2^{n-i}}) 。

直接求就好了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000000+5, yzh = 1000000007;

int n, k, ifac[N], fac[N], ans;

int quick_pow(int a, int b, int p) {
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b&1) ans = 1ll*ans*a%p;
        b >>= 1, a = 1ll*a*a%p;
    }
    return ans;
}
int C(int n, int m) {return 1ll*fac[n]*ifac[m]%yzh*ifac[n-m]%yzh; }
void work() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    fac[0] = fac[1] = ifac[0] = ifac[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) ifac[i] = -1ll*yzh/i*ifac[yzh%i]%yzh;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%yzh, ifac[i] = 1ll*ifac[i]*ifac[i-1]%yzh;
    for (int i = k; i <= n; i++)
        if ((i-k)&1) (ans -= 1ll*C(i, k)*C(n, i)%yzh*quick_pow(2, quick_pow(2, n-i, yzh-1), yzh)%yzh) %= yzh;
        else (ans += 1ll*C(i, k)*C(n, i)%yzh*quick_pow(2, quick_pow(2, n-i, yzh-1), yzh)%yzh) %= yzh;
    printf("%d
", (ans+yzh)%yzh);
}
int main() {work(); return 0; }