[CQOI 2015]选数

Description

 我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

题解

设 $F(x)$ 为 $xmid gcd$ 的个数， $f(x)$ 为 $gcd=x$ 的个数。

egin{aligned}F(x)&=sum_{xmid d}f(d)\Rightarrow f(x)&=sum_{xmid d}muleft(frac{d}{x} ight)F(d)end{aligned}

对于输入 $(N,K,L,H)$ 我们记 $leftlceilfrac{L}{K} ight ceil$ 为 $l$ ，记 $leftlfloorfrac{H}{K} ight floor$ 为 $h$ 。

提出 $K$ ，答案就是 $$f(1)=sum_{i=1}^{h}mu(i)F(i)$$

显然 $F(i)=left(leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor ight)^N$

由于 $h$ 很大，我们还是不能枚举这个 $i$ 。考虑到这样一个问题：当 $i$ 很大时 $leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor$ 会变成 $0$ 或 $1$ 。实际上只要 $i>h-l$ 数值就为 $0$ 或 $1$ 了。

那么现在答案就变成了 egin{aligned}&sum_{i=1}^{h-l}mu(i)left(leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor ight)^N+sum_{i=h-l+1}^hmu(i)leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor\=&sum_{i=1}^{h-l}mu(i)left(leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor ight)^N+sum_{i=1}^hmu(i)leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor-sum_{i=1}^{h-l}mu(i)leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floorend{aligned}

我们观察到式子 $sumlimits_{i=1}^hmu(i)leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor$ 的含义就是 $lsim r$ 区间内有是否有值为 $1$ ，所以等价于 $[Lleq Kwedge Kleq H]$ 。

所以 $$ans=sum_{i=1}^{h-l}mu(i)left(left(leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor ight)^N-left(leftlfloorfrac{h}{i} ight floor-leftlfloorfrac{l-1}{i} ight floor ight) ight)+[Lleq Kwedge Kleq H]$$

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
#define writeln(x) (write(x), putchar('
'))
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
const int N = 1e5;
const int MOD = 1000000007;
void read(int &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void write(LL x) {
    if (x > 9) write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

int n, k, l, h, mu[N+5];
int isprime[N+5], prime[N+5], tot;

void get_mu() {
    memset(isprime, 1, sizeof(isprime)); isprime[1] = 0, mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
    if (isprime[i]) prime[++tot] = i, mu[i] = -1;
    for (int j = 1; j <= tot && i*prime[j] <= N; j++) {
        isprime[i*prime[j]] = 0;
        if (i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = -mu[i];
        else {mu[i*prime[j]] = 0; break; }
    }
    }
}
int quick_pow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
    if (b&1) ans = (LL)ans*a%MOD;
    a = (LL)a*a%MOD, b >>= 1;
    }
    return ans;
}
void work() {
    get_mu(); read(n), read(k), read(l), read(h);
    int flag = (l <= k && k <= h), ans = 0;
    l = ceil(1.*l/k), h = (h/k);
    for (int i = 1; i <= h-l; i++) ans = (ans+(LL)mu[i]*quick_pow(h/i-(l-1)/i, n)%MOD)%MOD;
    for (int i = 1; i <= h-l; i++) ans = (ans-(LL)mu[i]*(h/i-(l-1)/i)%MOD)%MOD;
    writeln((ans+flag+MOD)%MOD);
}
int main() {
    work();
    return 0;
}