[SDOI 2012]Longge的问题

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。

题解

求 $$sum_{i = 1}^N gcd(i, N)$$

用惯用的套路我们枚举 $N$ 的因子  $$sum_{d mid N} d cdot sum_{i = 1}^{ frac{N}{d} } left[gcd left( frac{N}{d} , i ight) = 1 ight]$$

化简为 $$sum_{d mid N} d cdot varphi left( frac{N}{d} ight)$$

欧拉函数直接用 $varphi(n) = n cdot prod_{i = 1}^k left(1-frac{1}{p_i} ight)$ 来求。

//It is made by Awson on 2018.1.12
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))
using namespace std;
void read(LL &x) {
    char ch; bool flag = 0;
    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());
    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());
    x *= 1-2*flag;
}
void write(LL x) {
    if (x > 9) write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}

LL n, m, ans;

LL phi(LL x) {
    LL ans = x;
    for (LL i = 2; i <= m; i++) {
    if (x%i) continue;
    ans = ans*(i-1)/i;
    while (!(x%i)) x /= i;
    }
    if (x > 1) ans = ans*(x-1)/x;
    return ans;
}
void work() {
    read(n); m = sqrt(n);
    for (LL i = 1; i <= m; i++) {
    if (n%i) continue;
    ans += i*phi(n/i);
    if (i*i < n) ans += n/i*phi(i);
    }
    write(ans);
}
int main() {
    work();
    return 0;
}