【NOIP模拟】函数

题面

大 M 为了正在学习函数的光滑性并对 Lipschitz 常数非常感兴趣：当一个定义域为[l,r]的函数 f，对于定义域内的任意 x,y 都有|f(x)-f(y)|<=K*|x-y|时，则称 K 的最小值为该函数在[l,r]上的 Lipschitz 常数。然而大 M 并不满足于函数，所以他定义：对于一个序列 v[1..n]，当1<=x<y<=n 且 x,y 均为整数时，同样满足|v[x]-v[y]|<=K*|x-y|，则称 K 的最小整数值为序列 v 的 Lipschitz 常数。现在给你一个长度为 n 的序列 v[1..n]并给出 q 个询问，对于每对询问[l,r]，你需要求出 v[l..r]的所有子序列 v[x..y]（l<=x<y<=r）的 Lipschitz 常数之和。这可难不倒会编程的你。

第一行两个整数 n 和 q，分别表示序列的长度以及询问的个数。 第二行 n 个数，表示 v[1..n]，0<=v[i]<=10^8。 接下来 q 行，每行两个数 l 和 r，表示询问的区间为[l..r]。

对于每个询问，输出一行一个数，即 v[l..r]的所有子序列的 Lipschitz 常数 之和。

对于 30%的数据，n<=500； 对于 60%的数据，n<=50000； 对于 100%的数据，n<=100000,q<=100。

分析

首先你要发现，v[l..r]的Lipshitz常数必定在v[x]和v[x+1]（l<=x<=r-1）。为什么？看这个表达式，k不就是斜率吗？那你以v值为纵坐标，位置为横坐标建立坐标系，怎样的两点斜率最大？显然，相邻两点啊。

所以，我们先求出两个点之间的差，再预处理出每个差有效作用范围。即用单调队列算出左边比它大的第一个数的位置，右边比它大的第一个数的位置，它的有效作用范围就是这之间。

单调队列就不用说了吧？就一个单调递减的队列，每次遇到一个比末尾还大的数，说明尾部元素不符合最优，将他们扔掉，指针前移。后进来的影响范围更远，所以及时扔掉前面符合最优性。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100100
#define ll long long
ll n,m,l,r,top,ans;
ll b[N],a[N],q[N],L[N],R[N];
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);
    for(ll i=2;i<=n;i++)a[i]=abs(b[i]-b[i-1]);
    q[0]=1;
    for(ll i=2;i<=n;i++){while(top&&a[q[top]]<=a[i])top--;L[i]=q[top];q[++top]=i;}
    q[top=0]=n+1;
    for(ll i=n;i>=2;i--){while(top&&a[q[top]]<=a[i])top--;R[i]=q[top];q[++top]=i;}
    while(m--)
    {
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
        ans=0;
        for(ll i=l+1;i<=r;i++)
            ans+=a[i]*(i-max(l,L[i]))*(min(r+1,R[i])-i);
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}