【SDOJ2210】上升序列

题面

给一个长度10^5的非负序列，序列中的0可以任意换成任何数字（包括负数），问最长严格上升子序列长度。

样例输入
7
2 0 2 1 2 0 5
样例输出
5
提示

30% n<=5000 100% n<=1e5 ai<=1e6

分析

其实是很明显的dp最长上升子序列的变式。观察到1e5的数据规模肯定不能用朴实的O（n^2）的算法了。需要改变一下，d[i]存1~i中的最长子序列的结尾的最小末数字。比如有这样一组序列 1 4 2 3 7，搜到4位置的时候最长是2，搜到2的时候最长也是2，但是d[2]就要从4更新为2了，因为4卡住了比4小的，2在能构成同样长的上升子序列的情况下，能够让后面更多的数加入这个序列，比如2后面的3可以进入序列，然而4就把3卡掉了，所以这样记录一定最优。此时d[3]=3；再二分查找插入每个数。解决了时间复杂度后，就是0的问题了。其实0也很好解决，只需要看0是否是有用的。比如1 0 2 中的0是无帮助的，1 0 3中的0变为2后就有帮助了。意思是看0后面的数与前面的数相差的值是否能构成上升趋势即可，那不如把每个0后面的所有数-1，并把0去掉再存入。相对于提前把每个0能贡献的都贡献了。样例就变为了 2 1 0 1 3.【不好理解可以再多列几组试着感知一下，最后答案要加上0的个数。

然而还有一个容易忽略的问题，就是前导0.

如果按照上述思想实现可得90分，还有10分应该就是这样卡掉了。比如输入 

8 

0 0 0 0 0 0 0 0 

输出会是9，显然不对。

按lzy大佬传授的方法，只需要在序列前面加-INF 末尾加INF再将答案-2即可。因为负无穷和正无穷始终会被算入你的最长上升子序列中

好妙啊orz，这样就避免了前导0的情况

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define N 100000
#define INF 0x7fffffff

int str[N+10],zero[N+10],d[N+10],lis[N+10];
int n,k,flag=0,cnt=1,maxx=0,ans;

void init()
{
    str[1]=-INF; 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&k);
        if(k==0)
        {
            flag++;
            continue;
        }    
        str[++cnt]=k-flag;
        zero[cnt]=flag;
    }
    ++cnt;
    str[cnt]=INF;
    return ;
}

int Lis()
{
    int i,l,r,mid,len=1;
    d[1]=str[1];
    for(int i=2;i<=cnt;i++)
    {
        l=1;r=len;
        if(d[len]<str[i])
        {
            len++;
            d[len]=str[i];
            continue;
        }
        while(l<=r)//用lower_bound也可以
        {
            mid=(l+r)/2;
            if(d[mid]<str[i])
                l=mid+1;
            else
                r=mid-1;
        }
        d[l]=str[i];
    }
    return len;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init();
    ans=Lis()+flag-2;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}