Luogu P1654 OSU!

题目链接:Click here

Solution:

定义(E(x))表示在第x位置时的期望得分，考虑(E(x))与(E(x+1))之间的关系

如果(x+1)位置为1，则在(x)位置结束的连续的1长度都要+1

我们考虑先把((x+1)^3)分解，((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1)

也就是说对所有之前的极长串，他们都要加上(3x^2+3x+1)的贡献

则我们考虑来维护(x^2)和(x)这两个值的期望

维护(x)十分简单，(Ex_1(i)=p(i) imes (Ex_1(i-1)+1))，因为是增加值，所以之前的值也都要乘上概率

考虑如何维护(x^2)，((x+1)^2=x^2+2x+1)，所以(Ex_2(i)=p_i imes (Ex_2(i-1)+2Ex_1(i-1)+1))

最后就是答案了：(E(i)=E(i-1)+p(i) imes (3Ex_2(i-1)+3Ex_1(i-1)+1))

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+1;
int n;
double f1,f2,f3,p[N];
signed main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf",&p[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f3=f3+p[i]*(3*f2+3*f1+1);
		f2=p[i]*(f2+2*f1+1);
		f1=p[i]*(f1+1);
	}printf("%.1lf
",f3);
    return 0;
}