BZOJ3309 DZY Loves Math 【莫比乌斯反演】

题目

对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。

输入格式

第一行一个数T，表示询问数。
接下来T行，每行两个数a,b，表示一个询问。

输出格式

对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。

输入样例

4

7558588 9653114

6514903 4451211

7425644 1189442

6335198 4957

输出样例

35793453939901

14225956593420

4332838845846

15400094813

提示

【数据规模】

T<=10000

1<=a,b<=10^7

题解

前面的推导很套路：

[ans = sumlimits_{i = 1}^{n} sumlimits_{j = 1}^{m} f[gcd(i,j)] ]

[=sumlimits_{d = 1}^{n} f[d] * sumlimits_{i = 1}^{lfloor frac{n}{d} floor} sumlimits_{j = 1}^{lfloor frac{m}{d} floor} [gcd(i,j) == 1] ]

[=sumlimits_{d = 1}^{n} f[d] * sumlimits_{i = 1}^{lfloor frac{n}{d} floor} mu(i) * lfloor frac{n}{id} floorlfloor frac{m}{id} floor ]

[=sumlimits_{T = 1}^{n} lfloor frac{n}{T} floorlfloor frac{m}{T} floor sumlimits_{d|T} f[d] * mu(frac{T}{d}) ]

后面那玩意(g(T) = sumlimits_{d|T} f[d] * mu(frac{T}{d}))如果能预处理出来，就能(O(Tsqrt{n}))计算了
然后我只会(O(nlogn))，，，，
去膜题解

要利用(mu(i))的性质
显然(i)有平方项就不用考虑了
所以(T = prodlimits_{i = 1}^{k} p_i^{a_i})中每个(a_i)最多被取掉(1)
设最大为(r)
所以(f(d) = r)或(r - 1)
我们设有(x)个这样的指数为(r)，那么剩余的(k - x)个质因子的指数就可以任选，有(2^{k - x})中选法
如果(k e x)，(2^{k - x})为偶数，对应(mu)的正负数量相等，最后和为(0)
所以只有(k = x)时，(g(T) e 0)
否则我们假使所有的(f(d))都等于(r)，那么和依旧为(0)，但是实际上当(k)个数都被选的时候(f(d) = r - 1)，多了一个(-1)，根据奇偶性，最后会产生((-1)^{k + 1})的贡献
所以此时(g(T) = (-1)^{k + 1})

具体可以先筛出(mu(i))，再由(mu(i) e 0)的(i)推出所有的(f(i^x))，这样做每个数只会被推一次，所以是(O(n))的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 10000005,maxm = 100005,N = 1e7,INF = 1000000000;
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}
int p[maxn],pi,isn[maxn],mu[maxn];
LL g[maxn];
void init(){
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= N; i++){
		if (!isn[i]) p[++pi] = i,mu[i] = -1;
		for (int j = 1; j <= pi && i * p[j] <= N; j++){
			isn[i * p[j]] = true;
			if (i % p[j] == 0){
				mu[i * p[j]] = 0;
				break;
			}
			mu[i * p[j]] = -mu[i];
		}
	}
	for (LL i = 2; i <= N; i++)
		if (mu[i] != 0){
			for (LL j = i,t = -mu[i]; j <= N; j *= i)
				g[j] = t;
		}
	for (int i = 1; i <= N; i++) g[i] += g[i - 1];
}
int main(){
	init();
	int T = read(),n,m;
	LL ans;
	while (T--){
		n = read(); m = read(); ans = 0;
		if (n > m) swap(n,m);
		for (int i = 1,nxt; i <= n; i = nxt + 1){
			nxt = min(n / (n / i),m / (m / i));
			ans += 1ll * (n / i) * (m / i) * (g[nxt] - g[i - 1]);
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}