生成函数
先贴上两位大佬的博客：https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/9178645.html，https://www.cnblogs.com/moomcake/p/9385828.html。
它们可以解答两个问题：生成函数里的x有什么用——没什么用，去掉也行。用生成函数的好处在哪里——把组合问题的法则和幂级数的乘幂对应起来。
加法法则的定义：设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n种产生方式。
乘法法则的定义：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。
让我们来举个栗子：现在有1g，2g，3g三种砝码，得到mg质量的方案数是多少呢？显然，我们要在1g，2g和3g的砝码中都挑出若干个，如果它们的质量组合起来正好是mg，意味着得到mg质量的方案数+1。
考虑构造三个函数。1g砝码对应的函数是(f_1(x)=1+x+x^2+dots)，表示用1g砝码得到某个质量只有一个方案。同理，(f_2(x)=1+x^2+x^4+dots,f_3(x)=1+x^3+x^6+dots)。那么，(f_1f_2f_3)就表示用1g，2g，3g砝码得到某个质量的方案数。
我们可以这样来看两个生成函数A和B相乘得到C：对于C的第i项，组成它的方案数就是组成A的第0项的方案数*组成B的第i项的方案数+组成A的第1项的方案数*组成B的第i-1项的方案数……以此类推。这里就体现了组合问题的那两个法则。
通常第i项表示选i个此类物品有几种方案？