二维偏序 tree

tree（二维偏序）

最近接触到一些偏序的东西。

传统线段树非叶子节点的划分点mid=(l+r)/2,但小R线段树mid是自己定的。但满足l<=mid<r，其余条件同原来线段树。那么不难发现如下性质：1.该线段树的节点个数依然为2N-1.2.该线段树深度可能会超过O(logn)。3.该线段树区间定位所包含的线段树节点个数可能超过O(logn)。但区间定位的结果依然是唯一的。小R给你这样一个小R线段树，每次询问给定区间的区间定位个数。

​ 这道题n和询问个数都到了1e5，所以考虑nlogn的做法。

​ 我们发现区间定位个数(答案)和完全被该区间包含的节点个数所相关。具体性质如下:区间定位个数(答案) = 2 * 区间长度 - 完全被该区间包含的节点个数。不难发现完全被该区间包含的节点个可以看作一个森林,而区间定位出的那些线段节点可以看作这些森林当中数的根。由于一个长度为l的根的树的节点个数为 2 ∗ l − 1,那么这个森林当中每有一棵树,就会对“2 * 区间长度”这个总和上减去一,故满足性质。那么我们将问题转化为求完全被该区间包含的节点个数。

​ 那么现在问题就是在所有的区间中，找到[l,r]所完全包含的区间。这是个二维偏序的问题。个人理解所谓二维偏序就是询问许多向量中，比询问的向量小的向量。由于这是偏序关系，所以不是任意两个向量都可以比较大小。这里的定义是如果一个区间l，r，l<=l2，并且r>=r2，那么l，r小于l2，r2。具体做法就是一维排序，然后i从大到小（从小到大也可以，只不过这里dfs出来顺序是从小到大的，那么就从大到小扫一遍），对于左端点在当前询问左端点右侧的区间，把其右侧端点在树状数组里mark一下。然后查询的时候，只查询1到r被mark的值。这样由于只统计了左端点在l右侧的区间，并且区间的右端点被限制在1到r以内，所以所有区间都会被扫到。

​ 感觉这种方法真奇妙。。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=4e5+5;
int n, m, cntseg, cntline, cntq, beg;
int atree[maxn];

struct Node{
    int lson, rson, mid;
}node[maxn];

struct Line{
    int l, r, id, ans;
    void set(const int &x, const int &y){ l=x, r=y; }
}line[maxn], queries[maxn];
bool cmp1(const Line &x, const Line &y){
    return x.l==y.l?x.r<y.r:x.l<y.l;
}
bool cmp2(const Line &x, const Line &y){
    return x.id<y.id;
}

void build(int &now, int l, int r){
    line[cntline++].set(l, r);
    if (l==r) return;
    if (!now) now=++cntseg;
    scanf("%d", &node[now].mid);
    build(node[now].lson, l, node[now].mid);
    build(node[now].rson, node[now].mid+1, r);
}

inline int lowbit(int x){ return x&(-x); }

void modify(int now){
    while (now<=n){
        ++atree[now];
        now+=lowbit(now);
    }
}

int query(int now){
    int re=0;
    while (now){
        re+=atree[now];
        now-=lowbit(now);
    } return re;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    build(beg, 1, n);
    int l, r;
    for (int i=0; i<m; ++i){
        scanf("%d%d", &l, &r);
        queries[cntq].set(l, r);
        queries[cntq++].id=i;
    }
    sort(queries, queries+m, cmp1);
    int j=cntline-1;
    for (int i=m-1; i>=0; --i){
        //如果这个区间，它的左端点在查询的左端点右边
        //说明它对查询的左端点是有效果的
        while (line[j].l>=queries[i].l){
            modify(line[j].r); --j;
        }
        queries[i].ans=2*(queries[i].r-queries[i].l+1)-query(queries[i].r);
    }
    sort(queries, queries+m, cmp2);
    for (int i=0; i<m; ++i)
        printf("%d
", queries[i].ans);
    return 0;
}