欧拉函数、欧拉定理和费马小定理

对于正整数n，欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目，表示为φ（n）。

性质1：对于素数p，φ（p）=p-1。

性质2：对于两个互质数p，q，φ（pq）=φ（p）*φ（q）=（p-1）（q-1）。（积性函数）（易证）

性质3：若n是质数p的k次幂，φ（n）=p^k-p^k-1=（p-1）p^k-1，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

性质4：

因为：x可以分解成p1^q1×p2^q2×p3^q3……×pn^qn （pi为x的质因数）

因为pi^qi两两互质，所以：φ（x）=φ（p1^q1）×φ（p2^q2）×φ（p3^q3）……×φ（pn^qn） （性质2）

所以：φ（x）=（p1^q1-p1^q1-1）×（p2^q2-p2^q2-1）×（p3^q3-p3^q3-1）……×（pn^qn-pn^qn-1） （性质3）

提取x即得到公式。

性质5：n=Σφ（d|n）

yu大有个牛逼的证法，把1到n的所有数除以n，变成n个既约分数，分母d只可能是n的约数。并且，以d为分母的分数个数正好是φ（d）。因此，分数总数n=Σφ（d|n）。

欧拉定理：

对于互质的正整数a和n，有  

证明： 
( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, …, xφ(n)} （mod n）， S = {a * x1, a * x2, … , a * xφ(n)} （mod n）， 
则 Zn = S 。 
① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * xi 与 n 互质，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。 
② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。

( 2 ) a^φ(n) * x1 * x2 … xφ(n) mod n 
≡ (a * x1) * (a * x2) * … * (a * xφ(n)) mod n 
≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * … * (a * xφ(n) mod n) mod n 
≡ x1 * x2 * … * xφ(n) mod n 
对比等式的左右两端，因为 xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 aφ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。 
注： 
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

费马小定理：

a^p-1 ≡ 1 （mod p）（a<p） （性质1易证）

这是本人对欧拉函数、欧拉定理和费马小定理的一点理解，如果有更好的方法或解释，欢迎在评论区评论。。