题目大意:求$n!$在$k(k>1)$进制下末尾0的个数。
解题思路:一个数在十进制转k进制时,我们用短除法来做。容易发现,如果连续整除p个k,则末尾有p个0。
于是问题转化为$n!$能连续整除几个k。
我们先给k分解质因数,然后对于每个质因数,求出$n!$里有多少个质因数,然后如果k里有x个这个质因数,则求出的结果除以x。最后的答案为这些结果的最小值。
如何求$n!$里包含质因数的个数?由于$n!$是1乘到n,所以每p(p是质数)个数里一定有一个p,然后这些数中每p个里一定还有个p,以此类推即可算出。
时间复杂度约是$ heta(sqrt{k}log n)$。
C++ Code:
#include<cstdio> using namespace std; long long n,k,p[200002],c[200002],ans; int cnt; int main(){ scanf("%lld%lld",&n,&k); cnt=0; for(long long i=2;i*i<=k;++i) if(k%i==0){ p[++cnt]=i; c[cnt]=0; while(k%i==0){ ++c[cnt]; k/=i; } } if(k>1){ p[++cnt]=k; c[cnt]=1; } ans=20000000000000; for(int i=1;i<=cnt;++i){ long long t=0,now=n; while(now)t+=now/=p[i]; t/=c[i]; if(t<ans)ans=t; } printf("%lld ",ans); return 0; }