康托展开

康托展开是全排列到自然数的双射，可以用于压缩空间。

比如有一个全排列，p₁p₂...p_n，那么其康托展开X=a₁(n-1)!+a₂(n-2)!+...+a_n0!。其中a₁等是指当前未在排列中出现过且小于当前数字的数字个数。这样我们就把一个全排列映射成了一个自然数。

上述X就表示在所有全排列中，小于该排列的有多少个。其实也就意味着我们可以通过X求出原排列。

求出X/(n-1)!，就可以知道第一位上的数字，然后令X=X%(n-1)!，不断重复上述过程，直到X=0为止，我们就求出了前n-1位上的数字，而最后一位自然也就确定了。

//需要预处理出n!等

inline int cantor() { //求某个排列的次序x
    int x = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int small = 0;
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
            if (a[j] < a[i]) ++small;
        x += small * fact[n - i];
    }
    return x + 1;
}

int vis[maxn];

inline void decantor(int x) { //求第x大排列
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    --x;
    for (int i = 1, j; i <= n; ++i) {
        int t = x / fact[n - i];
        for (j = 1; j <= n; ++j)
            if (!vis[j]) {
                if (!t) break;
                --t;
            }
        printf("%d ", j);
        vis[j] = 1;
        x %= fact[n - i];
    }
    return;
}

NOIP2004普及组有道题：火星人（在洛谷上的链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1088），当时第一反应就是康托展开，但比较懒，写了个STL就水过去了，后来尝试用康托展开，发现并不行，因为这道题N很大，但M较小，假若N较小，M很大，我想康托展开还是很实用的。但这里也给出代码。

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int maxn = 1e4 + 5;

int n, m, a[maxn];
long long fact[maxn];

inline int cantor() { //求某个排列的次序x
    int x = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int small = 0;
        for (int j = i + 1; j <= n; ++j)
            if (a[j] < a[i]) ++small;
        x += small * fact[n - i];
    }
    return x + 1;
}

int vis[maxn];

inline void decantor(int x) { //求第x大排列
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    --x;
    for (int i = 1, j; i <= n; ++i) {
        int t = x / fact[n - i];
        for (j = 1; j <= n; ++j)
            if (!vis[j]) {
                if (!t) break;
                --t;
            }
        printf("%d ", j);
        vis[j] = 1;
        x %= fact[n - i];
    }
    return;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    fact[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) fact[i] = fact[i - 1] * i;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    decantor(cantor() + m);
    return 0;
}

总不能这样水过去，其实就是求出一个排列之后的某个排列，可以说是一种枚举排列的方法。直接给出代码。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 1e4 + 5;

int n, m, a[maxn];

inline void add() {
    for (int i = n - 1; i >= 1; --i) {
        if (a[i] > a[i + 1]) continue;
        for (int j = n; j >= 1; --j) {
            if (a[j] < a[i]) continue;
            swap(a[j], a[i]);
            sort(a + i + 1, a + n + 1);
            return;
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) add();
    for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d ", a[i]);
    return 0;
}