【洛谷习题】最大正方形

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1387

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最近学OI有点过火，今早上愣是没睡醒，上午的自习就没有了！不过还是很开心，连A三道DP水题。

这个题的话，思路比较清晰。我们想知道有没有边长为l的正方形，肯定要先知道有没有边长为l-1的正方形。我们枚举一个正方形的左上角，然后搬着一个边长为l-1的正方形在四个角上跑，如果这四个角上的小正方形全是1，那么这个边长为l的正方形肯定也全是1，否则取其中最大的。描述的有点凌乱，看代码就好了。一开始傻了一般开了一个四维数组保存正方形的四个顶点，这样是没有必要的，因为一个左上角的顶点和边长就能确定一个正方形。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int mmax = 105;

int map[mmax][mmax], dp[mmax][mmax][mmax];
int main() {
    int n, m, ans = 1;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            scanf("%d", &map[i][j]);
            if (map[i][j]) dp[i][j][1] = 1;
        }
    for (int l = 2; l <= min(n,m); ++l) {
        for (int i = 1; i <= n - l + 1; ++i)
            for (int j = 1; j <= m - l + 1; ++j) {
                if (dp[i][j][l - 1] == l - 1 && dp[i][j + 1][l - 1] == l - 1 && dp[i + 1][j][l - 1] == l - 1 && dp[i + 1][j + 1][l - 1] == l - 1)
                    dp[i][j][l] = l;
                else dp[i][j][l] = max(dp[i][j][l - 1], max(dp[i][j + 1][l - 1], max(dp[i + 1][j][l - 1], dp[i + 1][j + 1][l - 1])));
                ans = max(ans, dp[i][j][l]);
            }
        if (ans < l) break;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

实际上，这样做也不算太优秀。我们可以定义dp[i][j]表示以(i,j)为右下角的最大正方形的边长。那么对于map[i][j]==1，则有dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]))+1。显然是对的，每次考虑能否将(i,j)加入到已有的正方形中，那他一定可以加入以(i-1,j-1)、(i-1,j)、(i,j-1)为右下角的最大正方形中最小的那个，因为最大正方形要求里面全是1。

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int mmax = 105;

int dp[mmax][mmax];

int main() {
    int n, m, point, ans = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            scanf("%d", &point);
            if (point) {
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;
                ans = max(ans, dp[i][j]);
            }
        }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}