数论小结2.

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今天江哥来个给我们讲一些数学方面的小知识...小小总结一下!

1. exgcd().

　　

inline ll exgcd(ll a,ll b,ll c){
    return c % a ? (exgcd(b % a, a, ((-c % a) + a) % a) * b + c) / a : c / a;
}

江哥的神代码... 非常简单直接就能求逆元.

2.线筛 prime && phi &&　逆元

inline void sieve(){
    for(ll i = 2; i < maxn; ++i)
        if(!vis[i]){
            prime[++sz] = i;
            for(ll j = i*i; j < maxn; j += i) vis[j] = 1;
        }
}


inline void get_phi(){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < maxn ; ++i){
        if(!vis[i]){ prime[++sz] = i; phi[i] = i-1; }
        for(int j = 1; j <= sz && prime[j] * i < maxn; ++j){
            vis[prime[j] * i] = 1;
            phi[prime[j] * i] = phi[i] * (i % prime[j] ? prime[j] - 1 : prime[j]);
        }
    }    
}

某些情况下必须快速筛phi吧．

因为 phi 函数是一个积性函数, 我们从 phi 函数的计算式来考虑, 对于一个数, N = a * p, 如果 a % p == 0 那么 phi(N) = phi(a) * p, 否则 phi(N) = phi(a)  * (p - 1).

然后线筛逆元的想法是 , inv(n!) = inv((n-1)!) * n... 然后我们就能够线性递推．．．进而推出 1~n 的逆元.

3. CRT

CRT 是求一个同余方程组的解 x ≡ b_i (mod p_i) ... 以前一直是写的暴力的 CRT(暴力做加法....).

但是我们如果这样想..... x = a₁ + a₂ + a₃, 其中只有 a_i 对方程 i 有贡献 (a_i % p_{j != i})== 0

这个问题就好办了, 用 exgcd 求出每个ai, 然后求和就能得到一个 x 的解.

4. Lucas && ex_Lucas.

Lucas: C(n,m) % p == C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p);

ex_Lucas: 主要思想是将 C(n,m) 中的 模数 p 的因子提出来, 然后再求逆元...(p 不能太大)

5. Bs_Gs()

　　求离散对数 a^x ≡ b (mod p).

　　hash x = [1, √p], 然后 b 每次乘上 inv(a^√p ), 再去 hash 表中找.

　　Bs_Gs() 能够拓展.

6. 离散开方

　　x^a ≡ b (mod p).

　　我们在这里使用原根 g 来表示 x 以及 b.(原根的定义自行 Wiki)

　　先计算出 p 的原根 g 然后用Bs_Gs()计算指数.

　　x^a ≡ b (mod p) => (gⁱ)^a  ≡  g^j (mod p).根据费马小定理 a^{p - 1} ≡ 1 (mod p).

　　=> i * a ≡ j (mod p - 1).
 　  求解线性模方程用 exgcd 就 ok 了.

7. FFT

　　大体思路:

　　　　利用多项式的点值表示来计算乘积,运用分治的思想进行快速插值与逆差值.

　　待补全....