这个目前网上好像没有详细的教程，我来造福社会吧。
为了方便本文的叙述，做一个不严谨的规定。在本文中一个(01)串可以对应一些信息，并且这些信息是支持合并的，即如果用(g(S))表示(01)串(S)对应的信息，那么可以用(g(S))和(g(T))计算出(g(S+T))。因此我们不妨类比字符串，将这类信息的合并看作是加法。同样的，这类信息与数字的乘法代表连续的合并。
万能欧几里得可以解决基本所有的类欧几里得问题，而且不同的问题不需要重新推式子，只需要稍作修改即可。
首先来形式化的说明一下万能欧几里得能解决的问题：
给定(p,q,r,l)以及(g('0'))和(g('1'))，并给出一种信息合并的方式满足(g(S)+g(T)=g(S+T))。从左至右考虑函数(y=frac{px+r}{q})在((0,l])内的直线并维护一个(01)字符串(S)，每当和(x=c)（(c)是整数）相交时在(S)的末尾添加('0')，每当和(y=c)（(c)是整数）相交时在(S)的末尾添加('1')，当经过整点时先添加('1')后添加('0')。求(01)串(S)所对应的信息。
可以发现类欧几里得问题都可以转化为上述问题。举个例子，如果我们要求：
那么从结果上来讲我们只需要知道每个串对应的(sum ilfloorfrac{pi+r}{q} floor)，考虑对两个串进行合并，那么对于后面的串来讲(sum ilfloorfrac{pi+r}{q} floor)就变成了(sum (i+x)(lfloorfrac{pi+r}{q} floor+y))，其中(x)，(y)分别是前面的串中(i)和(lfloorfrac{pi+r}{q} floor)最终的值。那么显然为了合并(x)和(y)也是需要维护的。
进一步考虑(sum (i+x)(lfloorfrac{pi+r}{q} floor+y)=(sum ilfloorfrac{pi+r}{q} floor)+(xsumlfloorfrac{pi+r}{q} floor)+(ysum i)+(xysum 1))，考虑到(sum i)和(sum 1)都可以由后面的串的(x)直接得到因此无需维护，只需要再对(sumlfloorfrac{pi+r}{q} floor)进行维护即可。维护的计算方式稍加推导即可得知。
我们将解决上述问题的方法表示为(f(p,q,r,l,s_0,s_1))（其中(s_0)、(s_1)分别表示(g('0'))、(g('1'))），考虑如何递归至更小的规模：
首先可以发现，我们将(r)对(q)取余是没有关系的（因为(S)不会改变），于是可以保证(r<q)。
接着，如果(p<q)考虑如何转化为(pgeq q)。发现这或许可以通过将坐标系的横纵轴翻转解决。我们设(k=lfloorfrac{pl+r}{q} floor)，那么可以考虑先处理好值域在((1,k])之间的部分。如果(k=0)，那么不会经过(y=c)，我们直接返回(s_0*l)。否则我们将坐标轴反转并平移，可以使之前的问题等价于函数(y=frac{qx+(q-r)}{p})在((0,k-1])之间的部分，此时我们需要将(s_0)与(s_1)互换。不过这里有一个问题是互换了(s_0)和(s_1)以后，如果经过了整点那么实际的顺序会与我们规定的相反，为了解决这个问题，我们将函数整体向下平移(frac{1}{p})，即变成(y=frac{qx+(q-r-1)}{p})，那么原来的经过整点就变成了先与(x=c)相交的情况，和我们期望的一致，并且对其它的经过方式都不会产生结果上的变化。当然这会对头尾的需要单独处理的一小部分产生一些影响，接下来会说明这个问题。现在我们可以递归到(f(q,p,q-r-1,s_1,s_0))。
接下来还需要处理首尾的问题。先考虑开头，由于我们已经处理了值域在(1)之后的，那么与(y=c)相交的情况只会出现一次，于是我们统计与(x=c)相交的次数，那么就是函数与(y=1)相交的点的横坐标的下取整即(lfloorfrac{q-r}{p} floor)。不过需要特别注意的是当(frac{q-r}{p})为整数时，我们经过了((1,frac{q-r}{p}))这个整点，而由于我们之前将递归的函数下移了(frac{1}{p})，因此递归的部分实际上会将与(x=frac{q-r}{p})相交的情况包含，因此我们在开头需要计算的与(x=c)相交的次数只有(lfloorfrac{q-r-1}{p} floor)次，之后再与(y=1)相交。即，在开头需要额外添加的信息是(s_0*{lfloorfrac{q-r-1}{p} floor}+s_1)。
尾部的问题也是类似的。由于函数值的整数部分不会再增加，于是只有与(x=c)相交的情况。计算可得与(y=k)相交的点横坐标为(frac{kq-r}{p})，由于递归下去的函数平移了(frac{1}{p})因此我们实际上只处理到了(frac{kq-r-1}{p})，于是我们在末尾加上(s_0*({l-lfloorfrac{kq-r-1}{p} floor}))即可。
于是我们可以保证(pgeq q)，考虑怎么解决这一部分。
我们设(k=lfloorfrac{p}{q} floor)，那么原函数可以表示为(y=kx+frac{(p mod q)x+r}{q})，将其与函数(y=frac{(p mod q)x+r}{q})相比，相当于在每次经过(x=c)之前额外经过(k)次(y=c)。于是我们可以递归至(f(pmod q,q,r,l,s_1*k+s_0,s_1))。
综上所述，我们完整的解决了万能欧几里得问题。为了使思路更加清晰，我们用伪代码的形式重新整理一遍之前的方法。
(f(p,q,r,l,s_0,s_1))
( r=rmod q)
( ext{if} p<q ext{then})
( k=lfloorfrac{pl+r}{q}
floor)
( ext{if} k=0 ext{then})
( ext{return} s_0*l)
( ext{return} s_0*{lfloorfrac{q-r-1}{p}
floor}+s_1+f(q,p,q-r-1,k-1,s_1,s_0)+s_0*(l-lfloorfrac{kq-r-1}{p}
floor))
( ext{else})
( k=lfloorfrac{p}{q}
floor)
( ext{return} f(pmod q,q,r,l,s_1*k+s_0,s_1))
如果将维护信息的加法和乘法的复杂度看作(O(1))，那么万能欧几里得的复杂度与欧几里得算法的分析相似，为(O(log n))。值得注意的是通常为了方便乘法可以用倍增进行快速乘，不过如果分析系数与乘数的关系可以得到更快的方法。
(P.S.)用平移(frac{1}{p})的方式处理特殊要求的方法是嘿嘿嘿同学告诉我的，嘿嘿嘿太强了。