本文主要内容是对武汉市第二中学吕凯风同学的论文《集合幂级数的性质与应用及其快速算法》的理解
定义
集合幂级数
为了更方便的研究集合的卷积，引入集合幂级数的概念
集合幂级数也是形式幂级数的一种，只是集合的一种表现形式，无需考虑收敛或发散的含义
定义一个集合 (S) 的集合幂级数为 (f) ，那么我们就可以把集合 (S) 表示为如下形式
(egin{aligned}f=sum _{Tsubseteq S}f_{T}cdot x^{T}end{aligned})
(f_T)为(T)这个集合幂级数的系数
简单来说就是用二进制表示集合的元素是否存在，并将其写成多项式的形式
约定
(c=left(a,b
ight))表示将(a,b)连起来组成(c)
为了方便，将(f*g)写成(fg)
卷积运算
加法
(egin{aligned}h=f+gend{aligned})
那么
(h_S=f_S+g_S)
减法
(egin{aligned}h=f-gend{aligned})
那么
(h_S=f_S-g_S)
乘法
(egin{aligned}h=f*gend{aligned})
那么
(egin{aligned}h_S=sum_{i∘jsubseteq S}f_i imes g_jend{aligned})
其中(∘)可以是与，或，异或运算
集合并卷积 就是(∘)进行或运算
子集卷积 就是(∘)进行与运算
集合对称差卷积 就是(∘)进行异或运算
快速求法
加法和减法都可以在(O(n))时间复杂度内求出结果
对乘法，有一些优化的算法，以集合并卷积为例
分治
设(f)有(2^n)项
考虑将其集合幂级数的第(n)个元素提出来
则(f=f^-+x^{{n}}f^+)，可以知道(f^-)为前(2^{n-1})项，(f^+)为后(2^{n-1})项即(f^-)的第(n)个元素在二进制下为(0)，(f^+)的第(n)个元素在二进制下为(1)
(egin{aligned}fg&=left( f^-+x^{{n}}f^{+}
ight) left( g^{-}+x^{{n}}g^{+}
ight)\
&=f^-g^-+x^{{n}}left( f^-g^{+}+f^{+}g^-+f^{+}g^{+}
ight) \
&=f^-g^-+x^{{n}}left(left(f^-+f^+
ight)left(g^-+g^+
ight)-f^-g^-
ight)
end{aligned})
这样计算(fg)就只要计算(f^-g^-)和(left(f^-+f^+
ight)left(g^-+g^+
ight))了
此时已经没有(n)这个元素了
于是我们可以递归分治求解(fg)
时间复杂度(Oleft(n2^n
ight))
(mathcal{Code})
void fold (int *f,int *g,int *h,int hlen)//hlen -> half len
{
if (hlen==1) return void(h[0]=f[0]*g[0]);
for (int i=0;i<hlen;++i) f[i+hlen]+=f[i],g[i+hlen]+=g[i];
fold(f,g,h,hlen>>1),fold(g+hlen,g+hlen,h+hlen,hlen>>1);
for (int i=0;i<hlen;++i) f[i+hlen]-=f[i],g[i+hlen]-=g[i];
}
快速莫比乌斯变换(FMT)
对于一个集合幂级数(f)，我们定义其快速莫比乌斯变换为集合幂级数(widehat f),使其系数满足
(egin{aligned}widehat f_S=sum_{Tsubseteq S}f_{T}end{aligned})
由容斥原理，我们可以得到
(egin{aligned}f_S=sum_{Tsubseteq S}left(-1
ight)^{|S|-|T|}widehat f_Tend{aligned})
考虑乘法(widehat h=widehat fwidehat g)
(egin{aligned}widehat h_{s}&=sum _{isubseteq S}sum _{jsubseteq S}f_{i}g_{j}\
&=left(sum _{isubseteq S}f_i
ight)left(sum _{jsubseteq S}g_{j}
ight)\
&=widehat f_S widehat g_S
end{aligned})
那么，现在我们知道想办法怎么求(widehat f)和(widehat g)，然后把它们的系数乘起来，就可以得到(widehat h)
然后再将其反演得到(f)(因为容斥是肯定会超时的)
考虑递推
我们设(widehat f_S^{left(i
ight)})使其满足
(egin{aligned}widehat f_S^{left(i
ight)}=sum _{Tsubseteq S}left[ left( S-T
ight) subseteq left{ 1,2,ldots ,i
ight}
ight] f_{T}end{aligned})
即若(i+1sim n)有元素属于(S)，则必须要选择，而(1sim i)中的元素可有可无
那么我们最终的(widehat f_S=widehat f_S^{left(n
ight)})，所有的元素都是可有可无的，即它的子集都被包含在内了
考虑第(S)中有没有(i)这个元素
- 没有，则(widehat f_S^{left(i ight)}=widehat f_S^{left(i-1 ight)})
- 有，那么(widehat f^{left( i ight) }_{S}=widehat f^{left( i-1 ight) }_{S}+widehat f^{left( i-1 ight) }_{S- i})，(S-i)表示从(S)这个集合中去掉(i)这个元素，这个式子的后两项前者是第(i)个元素一定被选了，后者则是第(i)个元素一定没有被选
而要将其反演，我们考虑其逆过程，只需将所有加上来的全部减去即可
时间复杂度(Oleft(n2^n ight))
(mathcal{Code})
上面做法都是二维数组
考虑先枚举(i)再算所有(S)的答案，只需一维数组即可
void FMT (int *a,int n)//n个元素
{
int all=1<<n;
for (int i=0;i<n;++i)
for (int j=0;j<all;++j)
if (j>>i&1) a[j]+=a[j^(1<<i)];
}
void IFMT (int *a,int n)//n个元素
{
int all=1<<n;
for (int i=0;i<n;++i)
for (int j=0;j<all;++j)
if (j>>i&1) a[j]-=a[j^(1<<i)];
}
快速沃尔什变换(FWT)
我们发现，在进行分治算法中，只需保留出(f^-,g^-)，(left(f^-+f^+
ight),left(g^-+g^+
ight))就可以算出答案了
可惜递归的常数相对来说太大，我们考虑将其写成循环的形式就可以得到(FWT)了
若不考虑分治写成循环，我们换一种方法理解(FWT)，当然，这是另一种思路了，上面将递归改成循环的思路是正确的
上面的(f=f^-+f^+)，我们是始终让其满足这个条件的，所以在后面还减去了一个(f^-g^-)
让我们跳出思维的局限，弄这么一个(f',g')使其满足((fg)'=f'g')，这样我们只要计算(f'g')，然后把它反演一下就可以得到(fg)
这里呢
(f'=left(f^-,f^-+f^+
ight))
为什么这样就可以呢
考虑((fg)')，根据上面的推导
(left(fg
ight)'=left(f^-g^-,left(f^-+f^+
ight)left(g^-+g^+
ight)
ight))
再考虑(f'g')
(f'^-g'^-=f^-g^-)
(f'^+g'^+=left(f^-+f^+
ight)left(g^-+g^+
ight))
所以这样是可以的
于是我们可以得到
(f'=left(f^-,f^-+f^+
ight))
然后称这样的(f')叫做沃尔什变换
(FWTleft(f
ight)=FWTleft(f^-,f^-+f^+
ight))
反演也很简单
即将多算的(f^-)减去即可
(mathcal{Code})
void FWT (int *a,int n)
{
for (int len=2;len<=n;len<<=1)
for (int i=0,hlen=len>>1;i<n;i+=len)
for (int j=i,k=j+hlen;j<k;++j)
a[j+hlen]+=a[j];
}
void IFWT (int *a,int n)
{
for (int len=2;len<=n;len<<=1)
for (int i=0,hlen=len>>1;i<n;i+=len)
for (int j=i,k=j+hlen;j<k;++j)
a[j+hlen]-=a[j];
}
时间复杂度(Oleft(n2^n ight))
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