算法设计与分析——最长公共子序列(LCS)备忘录法和动态规划实现

问题描述

       首先我们需要理解：最长公共子序列（longest common sequence）和最长公共子串（longest common substring）不是一回事儿。什么是子序列呢？即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。什么是子串呢？给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。详见下图：
              

       也就是说，最长公共子序列不一定连续！

       而最长公共子序列问题就是：求解两个序列的最长公共子序列的长度。这里采用动态规划法和备忘录法求解。

两种方法对比：

备忘录方法

• 备忘录方法要用递归实现
• 递归是自顶向下的解决问题的：即从目标开始，将问题划分，对子问题求解，直到边界
• 递归前对备忘录进行查询，当前备忘录未被填写时，则进行递归，否则直接返回备忘录的内容（核心，提高算法效率）
• 当整个问题的求解过程中有大量子问题无需求解时，备忘录更省时
• 一般要对备忘录进行初始化，为了之后快速判断是否有已经填写过备忘录

动态规划法

• 通过循环实现
• 递推式是自下而上解决问题的：即从边界开始，逐步对问题求解，直到抵达目标
• 当整个问题的求解过程中全部都要进行计算时，则应该使用递推式

递归公式

              

核心代码

//	动态规划
	 public static void f1(char arr1[],char arr2[],int n,int m) {
	        for(int i=1;i<=n;i++) {
	            for(int j=1;j<=m;j++) {
	                if(arr1[i-1]==arr2[j-1]) {
	                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
	                }else {
	                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
	                }
	            }
	        }
	        System.out.println(dp[n][m]);
	    }
	 //	备忘录
	public static int f2(char arr1[],char arr2[],int n,int m) {
		if(n==0||m==0) {
			return 0;
		}else if(arr1[n-1]==arr2[m-1]) {
			dp[n][m]=f2(arr1,arr2,n-1,m-1)+1;
		}else {
		
			 dp[n][m]=Math.max(f2(arr1,arr2,n-1,m),f2(arr1,arr2,n,m-1));}
		return dp[n][m];
	}

完整代码在：https://gitee.com/KSRsusu/arithmetic/tree/master/src

运行示例

       从短的开始逐个与长的开始匹配，解析与结果如图：
              

参考博客

https://blog.csdn.net/hrn1216/article/details/51534607