树状数组~讲解

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T))

是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只

能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。-------摘自百度百科

对于树状数组这种数据结构，关键词一是树状，另一个则是数组。

请看下图：

我们令每个叶节点代表每一个元素。

现在我们变形一下，顺便加上数组的编号：

a数组是原数据。

b数组的节点，代表其所有子节点之和。

b[1] = a[1]

b[2] = a[1] + a[2]

b[3] = a[3]

b[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] 

b[5] = a[5]

b[6] = a[5] + a[6]

b[7] = a[7]

b[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8] 

这时，我们再把b数组转化成二进制编码：

可以发现：

1=(001)      b[1] = a[1]

2=(010)      b[2] = a[1] + a[2]

3=(011)      b[3] = a[3]

4=(100)      b[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4]

5=(101)      b[5] = a[5]

6=(110)      b[6] = a[5] + a[6]

7=(111)      b[7] = a[7]

8=(1000)    b[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8] 

对照式子可以发现  b[i] = a[i-2^k+1] + a[i-2^k+2] + ......a[i]（k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3，i=7时，k=0，i=2时，k=1。

 

由此我们引出了lowbit函数：

lowbit(i) = 2^k

b[i] = a[i-lowbit(i)+1] + a[i-lowbit(i)+2] + ......a[i]

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

其实......很短......背吧......

接着是修改函数：

void add(int k, int num)
{
    while(k<=n)
    {
        BIT[k]+=num;
        k += lowbit(k);
    }
}

BIT就是b数组

在位置k上加上num，我们用lowbit枚举出与k有关的位置，依次加上num。

举个栗子：

比如我们要修改1位置的值。与之有关的是b[1] b[2] b[4] b[8]。

第一次 k = 1，BIT[1] += num后，lowbit(1) = 1，k+=1;

第二次 k = 2，BIT[2] += num后，lowbit(2) = 2，k+=2;

第三次 k = 4，BIT[4] += num后，lowbit(4) = 4，k+=4;

第四次 k = 8，BIT[8] += num后，lowbit(8) = 8;

another：

修改3位置的值。与之有关的是b[3] b[4] b[8]。

第一次 k = 3，BIT[3] += num后，lowbit(3) = 1，k+=1;

第二次 k = 4，BIT[4] += num后，lowbit(4) = 4，k+=4;

第三次 k = 8，BIT[8] +=num后， lowbit(8) = 8;

最后是查询操作：

在这里，我们反着来做

int query(int k)
{
    int sum = 0;
    while(k>0)
    {
        sum+=BIT[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return sum;
}

跟修改的原理是一样的，不过是反着做，比如查询7位置之前所有的和，就是BIT[7] + BIT[6] + BIT[4]。

这里你会想，我们的查询函数是查询从 1——k 的值的和，要是查询一个区间 l——r（包含 l 和 r 的值） 的话怎么办？

我们利用前缀和的思想，查询 l——r 就等于query(r) - query(l-1)。

所以，luogu P3374 树状数组的模板1，就解决啦~

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3374

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m;
int BIT[500070],a[500070];
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int k, int num)
{
    while(k<=n)
    {
        BIT[k]+=num;
        k += lowbit(k);
    }
}
int query(int k)
{
    int sum = 0;
    while(k>0)
    {
        sum+=BIT[k];
        k-=lowbit(k);
    }
    return sum;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        add(i,a[i]);//初始化元素，当然是每个位置i加上a[i]啦 
    }
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int c;
        scanf("%d",&c);
        if(c == 1)
        {
            int k,num;
            scanf("%d%d",&k,&num);
            add(k,num);
        }
        else
        if(c == 2) 
        {
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%d
",query(r)-query(l-1));
        }
    }
    return 0;
}