KMP：
KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个next()函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。时间复杂度O(m+n)。
——百度百科。
自我理解：
kmp算法最最最最核心的思想，就是在每一次失去匹配的时候，找到最大的可能能够匹配的子段进行匹配。
也就是著名的nxt数组。
算法流程：
数组只介绍一个nxt数组。nxt[i]表示，从1~i前缀S中，最长的前缀等于后缀的长度（不能是S）。
在每次失去匹配的时候，因为上次已经能够匹配到j了，所以1~j和 i-j~i-1 是相等的。
所以我们让j=nxt[j]的时候，根据定义，1~nxt[j] = j-nxt[j]+1~j , 又因为：1~j = i-j~i-1 所以 j-nxt[j]+1 ~ j = i-nxt[j] ~ i-1
这样，我们退一步到nxt，可以找到失去匹配后，最大的可能再次匹配上的字段长度nxt[j]
代码实现：
void kmp(){ nxt[1]=0; for(int i=2,j=0;i<=l2;i++){ while(j>0&&b[i]!=b[j+1]) j=nxt[j]; if(b[i]==b[j+1]) j++; nxt[i]=j; } }
下面这里还加上了f数组，f[i]表示，在a串中，以第i位结尾的所有子串，和b串的前缀最大匹配的长度。
转移是类似的。
void fin(){ for(int i=1,j=0;i<=l1;i++){ while(j>0&&(j==l2||a[i]!=b[j+1])) j=nxt[j]; if(a[i]==b[j+1]) j++; f[i]=j; if(f[i]==l2){ printf("%d ",i-l2+1); } } }
这样就可以求出模式串在原始串中出现的位置和个数了。
应用:
1.模式串在主串中出现的次数。见上述代码。
2.求一个串的循环节：
长度为n的字符串的最短循环节是：n-nxt[n],（可以证明：1.可以循环 2.是最短的）
当n%(n-nxt[n])等于0的时候，字符串是一个循环字符串。最长循环次数为：n/(n-nxt[n])
应用例题：
T1：NOI2014 动物园
这个题考察S的前缀中，处理不重叠前缀等于后缀的数量。
可以先求出重叠的nxt[i],num1[]
在处理不重叠的num2[]的时候，跳nxt[j]的时候，跳跃不停止的条件加上一个2*j>i还要跳，因为不能重叠。
跳完后，判断能否加1，如果2*j>i再跳一次。（WA了。。。）
最后，num2[i]=num1[j]+1 注意，这里一定是num1，也就是可重叠的。因为2*j<=i，所以，j中重叠是没有关系的。（WA了。。。）
加一表示1~j和i-j+1~i也是一个。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=1000000+10; const int mod=1e9+7; int nxt1[N],nxt2[N],num1[N],num2[N];//1: can 2: can't folded char a[N]; int l; ll ans; void kmp1(){ nxt1[1]=0,num1[1]=0; for(int i=2,j=0;i<=l;i++){ while(j&&a[i]!=a[j+1]) j=nxt1[j]; if(a[i]==a[j+1]) j++; nxt1[i]=j; if(nxt1[i]) num1[i]=num1[j]+1; } } void kmp2(){ nxt2[1]=0;num2[1]=0; for(int i=2,j=0;i<=l;i++){ while(j&&(2*j>i||a[i]!=a[j+1])) j=nxt1[j];//warning!! if(a[i]==a[j+1]) j++; if(2*j>i) j=nxt1[j];//warning!! nxt2[i]=j; if(nxt2[i]) num2[i]=num1[j]+1; } } int main() { int n; scanf("%d",&n); while(n--){ scanf("%s",a+1); ans=1; l=strlen(a+1); kmp1(); kmp2(); for(int i=1;i<=l;i++){ ans=(ans*((ll)1+num2[i]))%mod; } printf("%lld ",ans); memset(num1,0,sizeof num1); memset(num2,0,sizeof num2); } return 0; }
T2：bzoj4641 基因改造