Spanning Tree与度数的一些题

以下所有图，点数n是1e5，边数是1e6

CodeForces 1133F1 Spanning Tree with Maximum Degree

题意：

找到一个生成树，使得度数最大的点度数最大

Sol：

直接找原图中度数最大的点p，把p的所有边都加入生成树，再kruskal即可

CodeForces 1133F2 Spanning Tree with One Fixed Degree

题意：

找到一个生成树，使得1号点度数恰好为K

Sol：

法一：

把一号点删掉，看图被分成了多少个连通块（dfs即可），每个连通块涂成一种颜色

把一号点和每个连通块至少连一个边。和K比较决定即可。

或者求割点，如果一号点是割点，也可以求出周围的块（麻烦，注意割点不完全属于任何点双）

 

法二：

下面写。

（ICPC）亚洲区域赛（南京） D.Degree of Spanning Tree

题意：

找到一个生成树，使得每个点度数小于n/2

Sol:

前面的方法不行了。

法一：（？）

求割点，考虑每个割点pi对周围的每个点双至少要连接一条边。

但是在pi的出边连接的点也是割点pj的时候，无法判断pj“属于”哪个点双。。（反正不会优化。。。。只能n^2)

 

法二：

反正来。玩修正主义

先随便找一个生成树。

如果有一个点度数>n/2（这样的点最多一个，反证即可），这个点就当作根root。

考虑其他没有加入的边，如果和root构成环，那么就砍掉root和某个儿子的边，并加入新边。

注意，加入新边不能使得有新的点度数>n/2，加入的时候判断即可。

 

这样是对的。

因为最后正确答案如果存在，那么会有多个。

在有答案的情况下，（即每个割点连接的点双不多于n/2个）

随机生成树度数大于n/2的点root，

如果是原图的割点，那么可以调整

如果不是原图的割点，那么也可以调整。

 

实现方法：（比较巧妙）

（首先可以LCT暴力维护LCA）

然后其实可以把root的每个儿子子树看成一块，用并查集，开始的时候每个块的点，分别指向对应的root的儿子。

然后加入边的时候，涉及si，sj两个儿子，

儿子si和root的边断了，就让si并查集中的father为sj，对应连通块的合并。

（因为si和root的边不会再连上，所以这样就是对的。）

 

代码：

（来源：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=46411249）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=5e5+9;
int n,m,num,root;
int f[M],u[M],v[M],du[M];
int head[M],in[M];
bool vis[M];
struct P{int to,ne,id;}e[M<<2];
void dfs(int u,int fa,int top){
    f[u]=top;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].ne){
        int v=e[i].to;
        if(v!=fa)dfs(v,u,top);
    }
}
int find(int x){
    return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}
void work(){
    num=0;root=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=i,head[i]=0,du[i]=0,in[i]=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)vis[i]=0;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        scanf("%d%d",&u[i],&v[i]);
        int x=u[i],y=v[i];
        int fx=find(x),fy=find(y);
        if(fx==fy)continue;
        f[fy]=fx;
        e[++num]=P{y,head[x],i};head[x]=num;
        e[++num]=P{x,head[y],i};head[y]=num;
        du[x]++;du[y]++;
        vis[i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(find(i)!=find(1)){
            printf("No
");
            return;
        }
        if(du[i]>n/2)root=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=i;
    for(int i=head[root];i;i=e[i].ne){
        in[e[i].to]=e[i].id;
        dfs(e[i].to,root,e[i].to);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x=u[i],y=v[i];
        int fx=find(x),fy=find(y);
        if(fx==fy)continue;
        if(x==root||y==root)continue;
        if(!in[fy]&&!in[fx])continue;
        du[x]++,du[y]++;
        du[root]--;du[fy]--;
        if(du[x]>n/2||du[y]>n/2){
            du[fy]++;
            du[fx]--;
            if(du[x]>n/2||du[y]>n/2){
                du[root]++;
                du[fx]++;
                du[x]--;du[y]--;
                continue;
            }
            vis[in[fx]]=0;
            vis[i]=1;
            f[fx]=fy;
            continue;
        }
        vis[in[fy]]=0;
        vis[i]=1;
        f[fy]=fx;
    }
    if(du[root]<=n/2){
        printf("Yes
");
        for(int i=1;i<=m;++i){
            int x=u[i],y=v[i];
            if(vis[i])printf("%d %d
",x,y);
        }
    }
    else printf("No
");
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)work();
    return 0;
}

同理，CodeForces 1133F2的做法，也可以是把1号点的所有出边都连上，如果度数大于n/2，那么再调整即可。

（比ICPC南京 好写多了，不用考虑别的点是否度数会大于n/2）