[学习笔记]支配树

被支配树支配的恐惧

定义

显然，这个支配关系是一个树（或者如果有的点不能从r到达，就是一个树+一堆点）。

首先不会成环，其次也不会是DAG

即如果A支配C，B支配C，那么A和B之间必然有支配关系

解法

首先是DAG很好做：

[ZJOI2012]灾难

一般有向图：有环的存在，不能topo

方法分三步：

转化为找半支配点

idom[x]表示x的支配点编号

sdom[x]表示x的半支配点编号

先找到原图一个生成树，找到每个点的dfn序

 

定义半支配关系为：

定义半支配点为：

即满足支配关系dfn最小的点

 

一些认识：

A对于dfs树

B对于支配和半支配

 

半支配点也一定是x在dfs树上的祖先

 

请大量运用反证法和dfs算法的深度优先性质进行证明

 

虽然sdom[x]可能不是idom[x]

但是可以断言：

证明：

实在不懂可以画图感性理解

 

所以如果知道sdom[x],现在已经可以专化为求DAG的支配树了

 

如何找半支配点

 这个做法就是前面两个认识的两种情况。

dfn[z]>dfn[y]启发我们倒序处理

这样，x在T'的祖先z一定都是之前加入的，一定比y的dfn大，直接取即可。

实现维护T'？

改进：同时找支配点

 

（fix：每个点从一个祖先连过来恰好一条边）

证明略

直接看算法流程吧：

从简化之后的G'角度进行考虑（基本上就是一个树形结构了），就很好理解了。

补充：

第5步之所以找fa[y]，因为先有第4步，使得当前的根是fa[y]，（4/5两步交换，就可以直接处理sdom[x]=y的点x了）

第6步的标记还原：必须dfs序正序处理。打标记，如果没有idom[x]=sdom[x]，那么进行处理。

开始时候，令sdom[x]=x可以省去很多麻烦！！

Code

注意比较函数的书写。argmin与argmax

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('
');}

namespace Miracle{
const int N=2e5+5;
const int M=3e5+5;
int n,m;
struct node{
    int nxt,to;
}e[M];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;
    hd[x]=cnt;
}
vector<int>mem[N],fr[N];
int fa[N],dfn[N],fdfn[N],idom[N],sdom[N],df;
int gf[N],val[N];
bool cmp(int x,int y){//x<y?
    return dfn[sdom[x]]<dfn[sdom[y]];
}
int chm(int x,int y){
    return dfn[x]<dfn[y]?x:y;
}
int fin(int x){
    if(gf[x]==x) return x;
    int rt=fin(gf[x]);
    val[x]=cmp(val[x],val[gf[x]])?val[x]:val[gf[x]];
    return gf[x]=rt;
}
void dfs(int x){
    dfn[x]=++df;fdfn[df]=x;
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(dfn[y]) continue;
        fa[y]=x;
        dfs(y);
    }
}
void wrk(){
    for(reg i=n;i>=2;--i){
        int x=fdfn[i];
        for(reg j=0;j<(int)fr[x].size();++j){
            int y=fr[x][j];
            if(dfn[y]<dfn[x]){
                sdom[x]=chm(y,sdom[x]);
            }else{
                int haha=fin(y);
                sdom[x]=chm(sdom[val[y]],sdom[x]);
            }
        }
        mem[sdom[x]].push_back(x);
        gf[x]=fa[x];
        x=fa[x];
        for(reg j=0;j<(int)mem[x].size();++j){
            int y=mem[x][j];
            int haha=fin(y);
            if(sdom[val[y]]==sdom[y]) idom[y]=sdom[y];
            else idom[y]=val[y];
        }
    }
    for(reg i=2;i<=n;++i){
        int x=fdfn[i];
        if(idom[x]!=sdom[x]) idom[x]=idom[idom[x]];
    }
}
int sz[N];
void sol(int x){
    sz[x]=1;
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        sol(y);
        sz[x]+=sz[y];
    }
}
int main(){
    rd(n);rd(m);
    int x,y;
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        rd(x);rd(y);add(x,y);
        fr[y].push_back(x);
    }
    dfs(1);    
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        sdom[i]=i,val[i]=i,gf[i]=i;
    }
    wrk();
    memset(hd,0,sizeof hd);cnt=0;
    for(reg i=2;i<=n;++i){
        add(idom[i],i);
    }
    // prt(dfn,1,n);
    // prt(fa,1,n);
    // prt(sdom,1,n);
    // prt(idom,1,n);
    sol(1);
    prt(sz,1,n);
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/

例题

其实就是[ZJOI2012]灾难

别的没什么题目。。。。