[学习笔记]多项式指数函数

https://blog.csdn.net/semiwaker/article/details/73251486

已知$B(x)$求：$A(x)=e^{B(x)}$

根据麦克劳林展开：$e^{B(x)}=1+frac{B(x)}{1!}+frac{{B(x)}^2}{2!}+...+frac{{B(x)}^n}{n!}$

用到指数函数的时候，就是推出式子是麦克劳林展开的时候luoguP4841 城市规划

前置知识：

1.牛顿迭代

至于g(f(x))没有什么具体表达式当然也是没有办法算的。

关于泰勒展开泰勒公式_百度百科

思路就是用某一个点的n阶导数和本身的函数值，来无限逼近整个函数的值

后面的麦克劳林展开用的也比较多

第一点非常关键，

就是，我们这里要求F(x)，所以不妨把F(x)看做变量x，这样，A(x)就是常数，

反正，式子就是:g(f)=f^2-A，直接求导即可

（至于多项式对数函数的求导，那个是把x看做自变量（G(x)是一次的，再看成自变量就没了。。））

2.多项式对数函数

 学习笔记]多项式对数函数

正题

代码：

注意lnG(X)这里，必须是mod x^n的意义下的

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=8*1e5+5;
const int mod=998244353;
const int G=3;
const int GI=332748118;
int n,m;
int qm(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
int f[N],t[N],e[N],b[N],p[N],ni[N],g[N],lg[N];
int rev[N];
void NTT(int *f,int n,int c){
    for(reg i=0;i<n;++i){
        if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
    }
    for(reg p=2;p<=n;p<<=1){
        int gen;
        if(c==1) gen=qm(G,(mod-1)/p);
        else gen=qm(GI,(mod-1)/p);
        for(reg l=0;l<n;l+=p){
            int buf=1;
            for(reg k=l;k<l+p/2;++k){
                int tmp=(ll)buf*f[k+p/2]%mod;
                f[k+p/2]=(f[k]-tmp+mod)%mod;
                f[k]=(f[k]+tmp)%mod;
                buf=(ll)buf*gen%mod;
            }
        }
    }
}
void inv(int *f,int *g,int n){
    if(n==1){
        g[0]=qm(f[0],mod-2);return;
    }
    inv(f,g,n>>1);
    for(reg i=0;i<n;++i) p[i]=f[i];
    for(reg i=n;i<2*n;++i) p[i]=0;
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n:0);
    }
    NTT(g,2*n,1);NTT(p,2*n,1);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        g[i]=((ll)2-(ll)g[i]*p[i]%mod+mod)%mod*g[i]%mod;
    }
    NTT(g,2*n,-1);
    int iv=qm(2*n,mod-2);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;
        else g[i]=0;
    }
}
void dao(int *f,int n){
    for(reg i=0;i<n-1;++i){
        f[i]=(ll)f[i+1]*(i+1)%mod;
    }
    f[n-1]=0;
}
void ji(int *f,int n){
    for(reg i=n-1;i>=1;--i){
        f[i]=(ll)f[i-1]*qm(i,mod-2)%mod;
    }
    f[0]=0;
}
void ln(int *f,int *g,int n){
    for(reg i=0;i<n;++i) ni[i]=0;
    for(reg i=n;i<2*n;++i) ni[i]=0,b[i]=0;
    inv(f,ni,n);
    for(reg i=0;i<n;++i) b[i]=f[i];
    dao(b,n);
    
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n:0);
    }
    NTT(b,2*n,1);NTT(ni,2*n,1);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        g[i]=(ll)b[i]*ni[i]%mod;
    }
    NTT(g,2*n,-1);
    int iv=qm(2*n,mod-2);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;
        else g[i]=0;
    }
    ji(g,n);
}
void exp(int *f,int *g,int n){
    if(n==1){
        g[0]=1;return;
    }
    exp(f,g,n>>1);
    for(reg i=0;i<n;++i) lg[i]=0;
    ln(g,lg,n);
//    cout<<" Exp "<<n<<endl;
//    for(reg i=0;i<n;++i){
//        printf("%d ",lg[i]);
//    }puts("");
//    cout<<" now "<<endl;
//    for(reg i=0;i<n;++i){
//        cout<<g[i]<<" ";
//    }cout<<endl;
    
    lg[0]=(1+f[0]-lg[0]+mod)%mod;
    for(reg i=1;i<n;++i) lg[i]=(f[i]-lg[i]+mod)%mod;
//    cout<<" glglg "<<endl;
//    for(reg i=0;i<n;++i){
//        cout<<lg[i]<<" ";
//    }cout<<endl;
//    for(reg i=0;i<n;++i) p[i]=f[i];
//    for(reg i=n;i<2*n;++i) p[i]=0;
//    NTT(p,2*n,1);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n:0);
    }
    NTT(lg,2*n,1);NTT(g,2*n,1);
//    for(reg i=0;i<2*n;++i){
//        g[i]=(ll)(1-lg[i]+p[i]+mod)%mod*g[i]%mod;
//    }
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        g[i]=(ll)lg[i]*g[i]%mod;
    }
    NTT(g,2*n,-1);
    int iv=qm(2*n,mod-2);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;
        else g[i]=0;
    }
}
int main(){
    rd(n);
    for(reg i=0;i<n;++i) rd(f[i]);
    int len,lp;
    for(lp=n,len=1;len<=lp;len<<=1);
//    cout<<" start len "<<len<<endl;
    exp(f,g,len);
    for(reg i=0;i<n;++i){
        printf("%d ",g[i]);
    }
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/2/1 16:01:41
*/