• 小朋友和二叉树


    用生成函数的思想,其实这里就是FFT

    考虑根节点放的数字,从而推出F的式子

    有F=C*F*F+1

    (其实这里可以分治NTT,复杂度相同(理论常数更小))

    二元一次方程,求根公式

    +的根,因为x->0的时候,f趋近于inf,舍弃

    所以是-

    再化简得到:

    F=2/(1+sqrt(1-4C))

    (顺便说一下:

    一般实数域下,除法分为三种,一个是实数级别的,或者求余数,或者mod意义下得到一个数(这里没有实际意义,就是为了逆元做一个定义)

    复数域下,除法可能只有共轭然后变成分子的乘法

    多项式的话,要不然就是带余数的多项式除法,要不然就是分数线的形式,意义就是乘这个多项式的逆(除法就是一个表示,没有实际意义)

    ) 

    多项式开根即可

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define il inline
    #define reg register int
    #define numb (ch^'0')
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    il void rd(int &x){
        char ch;bool fl=false;
        while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
        for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
        (fl==true)&&(x=-x);
    }
    namespace Miracle{
    const int N=8*1e5+5;
    const int mod=998244353;
    const int G=3;
    const int GI=332748118;
    int n,m;
    int c[N],d[N],e[N],t[N],co[N],p[N],ni[N],l[N];
    int rev[N];
    int inv2;
    int qm(int x,int y){
        int ret=1;
        while(y){
            if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;
            x=(ll)x*x%mod;
            y>>=1;
        }
        return ret;
    }
    int mo(int x){
        return x>=mod?x-mod:x;
    }
    void NTT(int *f,int n,int c){
        for(reg i=0;i<n;++i){
            if(i>rev[i]){
                f[i]^=f[rev[i]]^=f[i]^=f[rev[i]];
            }
        }
        for(reg p=2;p<=n;p<<=1){
            int gen;
            if(c==1) gen=qm(G,(mod-1)/p);
            else gen=qm(GI,(mod-1)/p);
            for(reg l=0;l<n;l+=p){
                int buf=1;
                for(reg k=l;k<l+p/2;++k){
                    int tmp=(ll)buf*f[k+p/2]%mod;
                    f[k+p/2]=mo(f[k]-tmp+mod);
                    f[k]=mo(f[k]+tmp);
                    buf=(ll)buf*gen%mod;
                }
            }
        }
    }
    void calc(int *f,int *g,int n){
        for(reg i=0;i<n;++i){
            rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0);
        }
        NTT(f,n,1);NTT(g,n,1);
        for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod;
        NTT(f,n,-1);
        ll iv=qm(n,mod-2);
        for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*iv%mod;
    }
    void inv(int *f,int *g,int n){//mod n
        if(n==1){
            g[0]=qm(f[0],mod-2);return;
        }
        inv(f,g,n>>1);
        for(reg i=0;i<n/2;++i) d[i]=g[i],e[i]=f[i];
        for(reg i=n/2;i<=n;++i) d[i]=0,e[i]=f[i];
        for(reg i=n+1;i<=2*n;++i) d[i]=0,e[i]=0;
        
        for(reg i=0;i<2*n;++i){
            rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?(2*n)>>1:0);
        }
        NTT(d,2*n,1);NTT(e,2*n,1);
        for(reg i=0;i<2*n;++i){
            g[i]=mo(mo(2*d[i])-(ll)e[i]*d[i]%mod*d[i]%mod+mod);
        }
        NTT(g,2*n,-1);
        ll iv=qm(2*n,mod-2);
        for(reg i=0;i<2*n;++i){
            if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;
            else g[i]=0;
        }
    }
    void sqr(int *f,int *g,int n){
        if(n==1){
            g[0]=1;return;
        }
        sqr(f,g,n>>1);
        for(reg i=0;i<n/2;++i) co[i]=(ll)g[i]%mod,l[i]=g[i],p[i]=f[i],ni[i]=0;
        for(reg i=n/2;i<n;++i) co[i]=0,l[i]=0,p[i]=f[i],ni[i]=0;
        for(reg i=n;i<2*n;++i) co[i]=0,l[i]=0,p[i]=0,ni[i]=0;
        
        memset(ni,0,sizeof ni);
        inv(co,ni,n);
        
        calc(p,ni,2*n);
        
        for(reg i=0;i<2*n;++i){
            if(i<n) g[i]=((ll)g[i]+p[i])%mod*inv2%mod;
            else g[i]=0;    
        }
    }
    int main(){
        rd(n);rd(m);
        inv2=qm(2,mod-2);
        
        int lp=max(n,m);
        int x;
        for(reg i=1;i<=n;++i){
            rd(x);c[x]=1;
            lp=max(lp,x);
        }
        int len=1;
        for(;len<=lp;len<<=1);
        for(reg i=0;i<len;++i){
            c[i]=-4*c[i]+mod;
        }
        c[0]++;
        
    //    cout<<" len len "<<len<<endl;
        sqr(c,t,len);
    //    cout<<" sqrt "<<endl;
    //    for(reg i=0;i<len;++i){
    //        cout<<t[i]<<" ";
    //    }cout<<endl;
        t[0]=(t[0]+1)%mod;
        
        
        memset(ni,0,sizeof ni);
        inv(t,ni,len);
        for(reg i=1;i<=m;++i){
            ll ans=2*ni[i]%mod;
            printf("%lld
    ",ans);
        }
        return 0;
    }    
    
    }
    signed main(){
        Miracle::main();
        return 0;
    }
    
    /*
       Author: *Miracle*
       Date: 2019/1/28 20:07:14
    */

    其实就是列出式子

    然后推式子

    不用分治NTT的话,

    生成函数这里主要是:F=C*F*F+1的整体思想

    也可以看做多项式优化DP系列

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/10332055.html
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