用生成函数的思想,其实这里就是FFT
考虑根节点放的数字,从而推出F的式子
有F=C*F*F+1
(其实这里可以分治NTT,复杂度相同(理论常数更小))
二元一次方程,求根公式
+的根,因为x->0的时候,f趋近于inf,舍弃
所以是-
再化简得到:
F=2/(1+sqrt(1-4C))
(顺便说一下:
一般实数域下,除法分为三种,一个是实数级别的,或者求余数,或者mod意义下得到一个数(这里没有实际意义,就是为了逆元做一个定义)
复数域下,除法可能只有共轭然后变成分子的乘法
多项式的话,要不然就是带余数的多项式除法,要不然就是分数线的形式,意义就是乘这个多项式的逆(除法就是一个表示,没有实际意义)
)
多项式开根即可
代码:
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define reg register int #define numb (ch^'0') using namespace std; typedef long long ll; il void rd(int &x){ char ch;bool fl=false; while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true); for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb); (fl==true)&&(x=-x); } namespace Miracle{ const int N=8*1e5+5; const int mod=998244353; const int G=3; const int GI=332748118; int n,m; int c[N],d[N],e[N],t[N],co[N],p[N],ni[N],l[N]; int rev[N]; int inv2; int qm(int x,int y){ int ret=1; while(y){ if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod; x=(ll)x*x%mod; y>>=1; } return ret; } int mo(int x){ return x>=mod?x-mod:x; } void NTT(int *f,int n,int c){ for(reg i=0;i<n;++i){ if(i>rev[i]){ f[i]^=f[rev[i]]^=f[i]^=f[rev[i]]; } } for(reg p=2;p<=n;p<<=1){ int gen; if(c==1) gen=qm(G,(mod-1)/p); else gen=qm(GI,(mod-1)/p); for(reg l=0;l<n;l+=p){ int buf=1; for(reg k=l;k<l+p/2;++k){ int tmp=(ll)buf*f[k+p/2]%mod; f[k+p/2]=mo(f[k]-tmp+mod); f[k]=mo(f[k]+tmp); buf=(ll)buf*gen%mod; } } } } void calc(int *f,int *g,int n){ for(reg i=0;i<n;++i){ rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0); } NTT(f,n,1);NTT(g,n,1); for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod; NTT(f,n,-1); ll iv=qm(n,mod-2); for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*iv%mod; } void inv(int *f,int *g,int n){//mod n if(n==1){ g[0]=qm(f[0],mod-2);return; } inv(f,g,n>>1); for(reg i=0;i<n/2;++i) d[i]=g[i],e[i]=f[i]; for(reg i=n/2;i<=n;++i) d[i]=0,e[i]=f[i]; for(reg i=n+1;i<=2*n;++i) d[i]=0,e[i]=0; for(reg i=0;i<2*n;++i){ rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?(2*n)>>1:0); } NTT(d,2*n,1);NTT(e,2*n,1); for(reg i=0;i<2*n;++i){ g[i]=mo(mo(2*d[i])-(ll)e[i]*d[i]%mod*d[i]%mod+mod); } NTT(g,2*n,-1); ll iv=qm(2*n,mod-2); for(reg i=0;i<2*n;++i){ if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod; else g[i]=0; } } void sqr(int *f,int *g,int n){ if(n==1){ g[0]=1;return; } sqr(f,g,n>>1); for(reg i=0;i<n/2;++i) co[i]=(ll)g[i]%mod,l[i]=g[i],p[i]=f[i],ni[i]=0; for(reg i=n/2;i<n;++i) co[i]=0,l[i]=0,p[i]=f[i],ni[i]=0; for(reg i=n;i<2*n;++i) co[i]=0,l[i]=0,p[i]=0,ni[i]=0; memset(ni,0,sizeof ni); inv(co,ni,n); calc(p,ni,2*n); for(reg i=0;i<2*n;++i){ if(i<n) g[i]=((ll)g[i]+p[i])%mod*inv2%mod; else g[i]=0; } } int main(){ rd(n);rd(m); inv2=qm(2,mod-2); int lp=max(n,m); int x; for(reg i=1;i<=n;++i){ rd(x);c[x]=1; lp=max(lp,x); } int len=1; for(;len<=lp;len<<=1); for(reg i=0;i<len;++i){ c[i]=-4*c[i]+mod; } c[0]++; // cout<<" len len "<<len<<endl; sqr(c,t,len); // cout<<" sqrt "<<endl; // for(reg i=0;i<len;++i){ // cout<<t[i]<<" "; // }cout<<endl; t[0]=(t[0]+1)%mod; memset(ni,0,sizeof ni); inv(t,ni,len); for(reg i=1;i<=m;++i){ ll ans=2*ni[i]%mod; printf("%lld ",ans); } return 0; } } signed main(){ Miracle::main(); return 0; } /* Author: *Miracle* Date: 2019/1/28 20:07:14 */
其实就是列出式子
然后推式子
不用分治NTT的话,
生成函数这里主要是:F=C*F*F+1的整体思想
也可以看做多项式优化DP系列