[学习笔记]树套树

说白了，就是在一个树形数据结构上，每个点不再是一个节点，而是另外一个树形数据结构。

空间时间复杂度大多数都是O(nlogn)

线段树套平衡树

许多树套树都可以用线段树套平衡树解决。

空间O(nlogn)是很可观的。

各种区间找值的问题，可以游刃有余解决。

（虽然常数比较大）

例如模板：

【模板】二逼平衡树（树套树）

下标线段树里套权值平衡树

线段树节点O(4*N)

平衡树节点O(NlogN)

对于第k大，外面二分一下，然后查比mid小的数的个数，如果<k那么可以。O(log^3n)可过。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=5*1e4+5;
const int inf=2147483647;
int rt[4*N];
struct node{
    int ch[2];
    int fa;
    int sum,sz;
    int val;
}t[N*20];
int cur;//id
int dp[233],dc;
int n,m;
int a[N];
int nc(int v,int f){
    int r=dc?dp[dc--]:++cur;
    t[r].val=v;t[r].fa=f;t[r].sz=t[r].sum=1;
    t[r].ch[0]=t[r].ch[1]=0;
    return r;
}
void dele(int o){
    dp[++dc]=o;
}
void pushup(int x){
    if(x==0) return;
    t[x].sz=t[t[x].ch[0]].sz+t[t[x].ch[1]].sz+t[x].sum;
}
void rotate(int x){
    int y=t[x].fa,d=t[y].ch[1]==x;
    t[t[y].ch[d]=t[x].ch[!d]].fa=y;
    t[t[x].fa=t[y].fa].ch[t[t[y].fa].ch[1]==y]=x;
    t[t[x].ch[!d]=y].fa=x;
    pushup(y);
}
void splay(int o,int x,int f){
    while(t[x].fa!=f){
        int y=t[x].fa,z=t[y].fa;
        if(z!=f){
            rotate((t[y].ch[0]==x)==(t[z].ch[0]==y)?y:x);
        }
        rotate(x);
    }
    if(f==0) rt[o]=x;
    pushup(x);
}
void ins(int o,int v){//warning!! maybe no rt
    if(!rt[o]){
        rt[o]=nc(v,0);
        return;
    }
    int x=rt[o];
    while(1){
        t[x].sz++;
        if(t[x].val==v){
            t[x].sum++;break;
        }
        int d=t[x].val<v;
        if(!t[x].ch[d]){
            //cout<<" nc "<<endl;
            t[x].ch[d]=nc(v,x);
            x=t[x].ch[d];
            break;
        }
        x=t[x].ch[d];
    }
    splay(o,x,0);
}
void build(int o,int l,int r){
    //cout<<o<<" : "<<l<<" "<<r<<" "<<rt[o]<<endl;
    for(reg i=l;i<=r;++i){
    //    cout<<"ins "<<i<<" "<<a[i]<<endl;
        ins(o,a[i]);
    }
}
void remove(int o,int v){//warning!! maybe no rt
    int x=rt[o];
    while(t[x].val!=v){
        int d=t[x].val<v;
        x=t[x].ch[d];
    }
    splay(o,x,0);
    t[x].sum--;
    t[x].sz--;
    if(t[x].sum) return;
    dele(x);
    int son=t[x].ch[1];
    if(!son){
        rt[o]=t[x].ch[0];
        t[rt[o]].fa=0;
        return;
    }
    else{
        while(t[son].ch[0]) son=t[son].ch[0];
        splay(o,son,x);
        t[t[son].ch[0]=t[x].ch[0]].fa=son;
        t[son].fa=0;
        pushup(son);
        rt[o]=son;
    }
}
int pre(int o,int c){
    int x=rt[o];
    int ret=-inf;
    while(x){
        if(t[x].val<c) ret=max(ret,t[x].val);
        if(t[x].val<c){
            x=t[x].ch[1];
        }
        else x=t[x].ch[0];
    }
    return ret;
}
int bac(int o,int c){
    int x=rt[o];
    int ret=inf;
    //cout<<" oooooo "<<o<<endl;
    while(x){
        if(t[x].val>c) ret=min(ret,t[x].val);
        if(t[x].val>c){
            x=t[x].ch[0];
        }
        else x=t[x].ch[1];
    }
    //cout<<" ret "<<ret<<endl;
    return ret;
}
int rk(int o,int c){//±ÈcСµÄÊýµÄ¸öÊý 
    int x=rt[o];
    int ret=0;
    int cnt=0;
    while(x){
        ++cnt;
        //if(cnt<=15) cout<<"xx "<<x<<endl;
        if(t[x].val<c){
            ret+=t[x].sum+t[t[x].ch[0]].sz;
            x=t[x].ch[1];
        }
        else if(t[x].val==c){
            ret+=t[t[x].ch[0]].sz;return ret;
        }
        else if(t[x].val>c){
            x=t[x].ch[0];
        }
    }
    return ret;
}
void jian(int x,int l,int r){
    if(l==r){
        build(x,l,r);return;
    }
    build(x,l,r);
    jian(x<<1,l,mid);
    jian(x<<1|1,mid+1,r);
}
int pai(int x,int l,int r,int L,int R,int c){
    if(L<=l&r<=R){
        return rk(x,c);
    }
    int ret=0;
    if(L<=mid) ret+=pai(x<<1,l,mid,L,R,c);
    if(mid<R) ret+=pai(x<<1|1,mid+1,r,L,R,c);
    return ret;
}
void chan(int x,int l,int r,int to,int b,int c){
    if(l==r){
        remove(x,b);ins(x,c);
        return;
    }
    remove(x,b);ins(x,c);
    if(to<=mid) chan(x<<1,l,mid,to,b,c);
    else chan(x<<1|1,mid+1,r,to,b,c);
}
int qian(int x,int l,int r,int L,int R,int c){
    if(L<=l&&r<=R){
        return pre(x,c);
    }
    int ret=-inf;
    if(L<=mid) ret=max(ret,qian(x<<1,l,mid,L,R,c));
    if(mid<R) ret=max(ret,qian(x<<1|1,mid+1,r,L,R,c));
    return ret;
}
int hou(int x,int l,int r,int L,int R,int c){
    //cout<<" x "<<x<<" l "<<l<<" r "<<r<<endl;
    if(L<=l&&r<=R){
        return bac(x,c);
    }
    int ret=inf;
    if(L<=mid) ret=min(ret,hou(x<<1,l,mid,L,R,c));
    if(mid<R) ret=min(ret,hou(x<<1|1,mid+1,r,L,R,c));
    return ret;
}
int kth(int l,int r,int k){
    //cout<<" l r k "<<l<<" "<<r<<" "<<k<<endl;
    int L=0,R=1e8;
    int ret=0;
    while(L<=R){
        int M=(L+R)/2;
        //cout<<L<<" "<<R<<" "<<M<<endl;
        int tmp=pai(1,1,n,l,r,M);
        if(tmp<k) ret=M,L=M+1;
        else R=M-1;
    }
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(reg i=1;i<=n;++i)rd(a[i]);
    jian(1,1,n);
//    cout<<" tot "<<cur<<endl;
//    for(reg i=1;i<=cur;++i){
//        cout<<i<<" : "<<t[i].ch[0]<<" "<<t[i].ch[1]<<" "<<t[i].val<<" "<<t[i].fa<<endl;
//    }
    int op,l,r,p,k;
    while(m--){
        rd(op);
        switch(op){
            case 1:rd(l);rd(r);rd(k);printf("%d
",pai(1,1,n,l,r,k)+1);break;//warning!!! +1
            case 2:rd(l);rd(r);rd(k);printf("%d
",kth(l,r,k));break;
            case 3:rd(p);rd(k);chan(1,1,n,p,a[p],k);a[p]=k;break;
            case 4:rd(l);rd(r);rd(k);printf("%d
",qian(1,1,n,l,r,k));break;
            case 5:rd(l);rd(r);rd(k);printf("%d
",hou(1,1,n,l,r,k));break;
        }
    }
    return 0;
}

}
int main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/22 20:22:06
*/

[国家集训队]排队

动态逆序对。

看下面加强版。

[TJOI2017]不勤劳的图书管理员

类似动态逆序对。

考虑(l+1,r-1)区间内的影响。

要统计小于（大于）a[x]（a[y]）的个数以及总和。

线段树套平衡树轻而易举。空间O(2*N+NlogN)

线段树套动态开点权值线段树也可以。空间O(2*N+Nlog^2N)

 
线段树套线段树

一般必然有一个要动态开点。

空间不太优秀：O(nlogn^2)

（但是常数小一些，而且好写）

[HEOI2016/TJOI2016]序列

列出DP式子，发现是三维偏序。

（所以果断CDQ优化DP）

树套树做的话，可以下标线段树套动态开点权值线段树。节点维护dp值最大值

（当然，万能的线段树套平衡树也可以）