注意这里讲的是斯特林数而非斯特林公式。
斯特林数分两类：第一类斯特林数 和 第二类斯特林数。 分别记为
。
首先描述第二类斯特林数
。
描述为：将一个有n件物品的集合划分成k个非空子集的方法数。
比如集合{1,2,3,4}有以下划分：
{1,2,3}U{4} {1,2,4}U{3} {1,3,4}U{2} {2,3,4}U{1} {1,2}U{3,4} {1,3}U{2,4} {1,4}U{2,3}.
7个这样的划分。
记为
。
那么有一下第二类斯特林数交给你计算。
根据定义，易得答案分别为：0,1,n,0.
之后考虑一个这样的式子
把一个集合划分为两个子集。
思路：
把最后一个元素拿出来。
这时有两种可能。1：最后一个元素自成一个集合。2：最后一个元素和前面的集合中一个子集为一个元素。
。
这种思想不只是用在k = 2的时候。扩展到全部的k上。
原理不讲。一方面是为了自己将来看的时候能够自己思考。另一外方面其实和推导的方法差不多。
List:
表格数据确实重要。有时候Stiring Number 说不定是藏在题目中 你发现不了的。而你可以通过打表大胆猜测。
1 7 6 1
1 15 25 10 1
1 31 90 65 15 1
值得记住。
再是描述第一类斯特林数
意义：轮换。即n个元素能够分成k个轮换。
轮换：即新的轮换不能通过旧的轮换进行数组移位得到。
[A,B,C,D] = [B,C,D,A] = [C,D,A,B] = [D,A,B,C].
上述都是表示同一个轮换。
而[A,B,C] 和 [A,C,B] 是两个不同的轮换。
比如n = 4. k=2时。
有11个轮换：
[1,2,3][4] [1,2,4][3] [1,3,4][2] [2,3,4][1]
[1,3,2][4] [1,4,2][3] [1,4,3][2] [2,4,3][1]
[1,2][3,4] [1,3][2,4] [1,4][2,3]
记为
另外对于n>0
这个式子易得。 n个元素全排列。对于一种排列有另外n-1种可以通过数组移位得到。所以归为1种。
即n!/n = (n-1)!.
另外还有以下性质。
注意是两类斯特林数的关系。
同样地，第一类斯特林数也有递推式。
重点是那个(n-1)的理解。
举个例子。
[1,2,3] 中添加 4 构成[1,2,3,4]
[2,3,1] 中添加 4 构成[2,3,1,4]
[3,1,2] 中添加 4 构成[3,1,2,4]
而前面的轮换都是属于一个轮换。而构成了3个不同的轮换。所以一定不像第二类斯特林数一样是k.
而这种情况可以发现。前面集合中的每个数都出现一次在集合的第一个位置。所以是n-1个。
List:
2 3 1
6 11 6 1
24 50 35 10 1
值得记在脑中。
另外对于轮换。我们可以和排列对应起来。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 8 4 7 2 9 1 5 6
1->3 3->4 4->7 7->1 为一个轮换 [1,3,4,7]
2->8 8->5 5->2 为一个轮换 [2,8,5]
6->9 9->6 为一个轮换 [6,9]
对于任意一个排列总是有一个轮换是对应的。由此我们可以列出。
另外在具体数学的后面有一个这样联系第一类和第二类斯特林数的式子
当然中间在具体数学里还有很多精彩美妙绝伦的证明以及推导。还有公式。具体就不列出来了。
just an introduction.