首先你要知道莫比乌斯函数性质二是什么：
[sumlimits_{dvert n}cfrac{mu(d)}{d}=cfrac{varphi(n)}{n}
]
这个性质阐述了莫比乌斯函数和欧拉函数之间的联系，可以用狄利克雷卷积简单证明，但是我不会。
网上和 OI-Wiki 基本都是用狄利克雷卷积证明的，所以如何用普通数论知识证明呢？
首先你要知道莫比乌斯函数性质一是什么：
[sumlimits_{dvert n}mu{(d)}=[n=1]
]
这个是莫比乌斯函数的求和公式，证明略。
考虑欧拉函数的实际意义：
[varphi(n)=sumlimits_{i=1}^n[gcd(n,i)=1]
]
我们发现他莫名和莫比乌斯函数的和式有点关系：
[sumlimits_{i=1}^n[gcd(n,i)=1]=sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{dvert gcd(n,i)}mu(d)
]
发现只有 (i) 为 (d) 的倍数且 (dvert n) 的时候后面的式子才会被统计到。而 (n) 中共有 (cfrac{n}{d}) 个 (d) 的倍数，那么对于一个 (d) 就都乘上 (cfrac{n}{d})。
UPD:原来的表述有一点不严谨，已更改
好像就证出来了，完整如下：
[egin{aligned}
varphi(n)&=sumlimits_{i=1}^n[gcd(n,i)=1]\
&=sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{dvert gcd(n,i)}mu(d)\
&=sumlimits_{dvert n}mu(d)cfrac{n}{d}
end{aligned}
]
两边同除 (n)，得到更常见的性质二：
[cfrac{varphi(n)}{n}=sumlimits_{dvert n}cfrac{mu(d)}{d}
]
嗯，确实，这个性质基本也用不到。