点分治

前言

点分治，在我幼小的心灵中，一直觉得是个非常难的东西，我们有一次考提高模拟赛的时候，老师说这题目真**，居然考点分治这么难的东西，学了之后发现其实也没那么难。

介绍

点分治是一种思想，多用在树上。和树上路径有关的东西点分治一下，复杂度就会更加优越。

我这篇博客讲解的是luogu的点分治模板1这道题。
贴个链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P3806
题意：给你一颗树，问你树上是否存在长度为k的路径，点数小于1e5，询问数小于1e2。
如果暴力做的话，枚举两个端点，然后求两点间的距离，复杂度为(n^2 log) (求LCA log)。
复杂度过不了，我们考虑树形dp，对于每个点，把它所有子节点的信息统计起来，这样如果是一条链，会被卡到$ n^3$ ,但是如果层高是$ log$ 的话，算一下应该是$ n^2$ 的，所以如果我们能保证树的层高是$ log$ 的话，我们就能解决此题。

实现

点分治闪亮登场
我们希望一个点所有子树的大小尽量的平均，层高就会比较低。
定义一个点的size值是以它为根子树的大小（自然根时）。
定义一个点的maxx值，为以他为根时它所有子树size值的max。
那么maxx值显然为自然根时它所有子树的size值max，和整棵树的size-它的size。
那么所有点中maxx值最小的点就是这颗树的重心。
可能描述有点繁琐，大家结合代码看一下。

void getroot(int u,int fa){
	son[u]=1;//son表示以我为根子树的大小
	int maxx=0;
	for (int p=head[u];p;p=nxt[p]){
		if (!vis[a[p]]&&a[p]!=fa){
			int v=a[p];
			getroot(v,u);
			son[u]+=son[v];
			maxx=max(son[v],maxx);
		}
	}
	maxx=max(maxx,size-son[u]);//size为整颗树的大小
	if (maxx<minn) minn=maxx,root=u;
}

然后我们把重心拎起来，然后再对它的每个子节点做同样的事，递归下去就好了。这就是点分治的过程，有论文证明层高为$ log$的。
接下来就是树形dp的过程，很暴力，把子节点所有的dis加起来塞到桶里就行了

void dfs(int u,int fa){
	Q[++tot]=u;
	for (int p=head[u];p;p=nxt[p]){
		int v=a[p];
		if (!vis[a[p]]&&a[p]!=fa){
			dis[v]=dis[u]+b[p];
			dfs(v,u);
		}
	}
}//dfs把现在这个子树的节点都提出来
void calc(int u,bool sign,int more){
	tot=0;
	dis[u]=more;
	dfs(u,0);
	for (int i=1;i<=tot;i++){
		for (int j=i+1;j<=tot;j++){
			if (dis[Q[i]+dis[Q[j]]]<=10000000){
				if (sign) ans[dis[Q[i]]+dis[Q[j]]]++;
				else ans[dis[Q[i]]+dis[Q[j]]]--;
			}
		}
	}
}//sign 是用来容斥的，同个子树内的边不能加，因为路径有重复的部分。
void solve(int u){
	calc(u,1,0);//把子树内所有的点两两距离相加，但是有些情况后面要容斥掉
	//markdown无法直观的贴图片，我给出树的信息，大家自己画个图理解一下，1-->2 边权7
	//2-->3 边权5，1-->4 边权2 那么实际上的路径应该是 7 5 2 12 9 14，但是如果我们不容斥，会有一条路径为19，因为dis[2]=7,dis[3]=12,所以我们要通过容斥把处在同一颗子树中的答案判掉
	vis[u]=1;
	for (int p=head[u];p;p=nxt[p]){
		int v=a[p];
		if (!vis[v]){
			calc(v,0,b[p]);//就是这里
			minn=0x7f7f7f7f;
			size=son[v];
			getroot(v,0);
			solve(root);
		}
	}
}

其他部分应该结合代码不难看懂，希望这篇博客能给大家一个点分治的入门。
点分治只是一个思想，当你在解决树上路径问题时发现复杂度不优的时候，试试点分治吧。
在此感谢zhouyuheng2003给我提供的帮助