[luogu4133 BJOI2012] 最多的方案 (计数dp)

题目描述

第二关和很出名的斐波那契数列有关，地球上的OIer都知道：F1=1, F2=2, Fi = Fi-1 + Fi-2，每一项都可以称为斐波那契数。现在给一个正整数N，它可以写成一些斐波那契数的和的形式。如果我们要求不同的方案中不能有相同的斐波那契数，那么对一个N最多可以写出多少种方案呢？

输入输出格式

输入格式：
只有一个整数N。

输出格式：
一个方案数

输入输出样例

输入样例#1： 复制
16
输出样例#1： 复制
4
说明
Hint：16=3+13=3+5+8=1+2+13=1+2+5+8

对于30%的数据，n<=256

对于100%的数据，n<=10^18

首先需要知道的是任何一个自然数可以像这样被斐波那契数分解
我们又知道n>=3时斐波那契数可以被前两个数的和替换
那么我们可以先贪心找到一种每个数最大的方案
然后尝试将其中的数替换，使用dp计数
f[i][1/0] 表示最大分解中的第i个是否被替换（0表示被替换）
得到动规方程：

f[i][1]=f[i-1][1]+f[i-1][0];
f[i][0]=f[i-1][0]*(pos[i]-pos[i-1])/2 +
            f[i-1][1]*(pos[i]-pos[i-1]-1)/2;
    //ps:当该数(pos[i])要分解时考虑pos[i-1]能否使用
//即若pos[i-1]被替换(f[i-1][0])则可使用，若没替换则不行（-1即可）

code:

//By Menteur_Hxy
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <ctime>
#define M(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define LL long long
using namespace std;

inline LL rd() {
	LL x=0,fla=1; char c=' ';
	while(c>'9'|| c<'0') {if(c=='-') fla=-fla; c=getchar();}
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*fla;
}

inline void out(LL x){
    int a[25],wei=0;
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    for(;x;x/=10) a[++wei]=x%10;
    if(wei==0){ puts("0"); return;}
    for(int j=wei;j>=1;--j) putchar('0'+a[j]);
    putchar('
');
}

const int MAX=1010;
const int INF=0x3f3f3f3f;
LL n,cnt,scnt;
LL f[MAX][2],fib[MAX],pos[MAX];

int main() {
	n=rd();
	fib[1]=1,fib[2]=2;
	for(cnt=3;fib[cnt-1]<=n;cnt++) fib[cnt]=fib[cnt-1]+fib[cnt-2];
	cnt--;
	for(int i=cnt;i>=1;i--) if(n>=fib[i]) {
		n-=fib[i]; pos[++scnt]=i;
	}
	sort(pos+1,pos+scnt+1);
	f[1][1]=1; f[1][0]=((pos[1]-1)>>1);
	F(i,2,scnt) {
		f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1];
		f[i][0]=f[i-1][0]*(pos[i]-pos[i-1]>>1) + f[i-1][1]*(pos[i]-pos[i-1]-1>>1);
	}
	out(f[scnt][0]+f[scnt][1]);
	return 0;
}