[2022天梯赛] 教科书般的亵渎 【记忆化搜索】【剪枝】

题目描述：

$n$张牌每个牌有权值$a_i$，要求选择$k$次，每次让牌的权值减一，使得牌的权值形成从$1$开始的连续整数(不含$0$).

$n,k,ai \leq 50$

分析：

先考虑朴素dp，先将$a_i$排序，$dp[i][S][j]$表示前$i$个数，把$S$这些位填上了，还剩$j$次行动机会的方案数。有

$$dp[i][S][j] -> dp[i+1][S|(1<<k)][j-(a_i-k+1)]$$

考虑剪枝，如果$S$加上后面还没用的$a_i$在操作数最小且形成连续整数的情况下仍然比能用的次数$j$要大，则剪去。用unorderedmap存状态。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 60;
const int mod = 998244353;

int n,k;
int a[maxn];

int C[maxn][maxn];
int ans;
unordered_map <unsigned long long,int> mp[2][52],imm;
struct node{
    int kk;
    unsigned long long now;
};
queue<node> q[2];

bool pd(node fa,int i){
    int dj = 0;
    for(;i<=n;i++){
    unsigned long long pj = (fa.now+1)&(~fa.now);
    if((1ull<<a[i]-1)<pj) continue;
    int pp = imm[pj];
    dj += a[i]-pp;
    if(dj > fa.kk) return 0;
    fa.now += pj;
    }
    return 1;
}

int fast_pow(int now,int pw){
    int ans = 1,dt = 1;
    while(dt <= pw){
    if(dt & pw) ans = 1ll*ans*now%mod;
    dt<<=1;
    now = 1ll*now*now%mod;
    }
    return ans;
}

int cnt = 0;
void dfs(int now,unsigned long long st,int num,int way){
    if(now > n){
    if(num != 0) return;
    int flag = imm.count(st+1);
    if(!flag) return;
    ans += way;
    if(ans >= mod) ans -= mod;
    }else{
    for(int i=a[now];i>=1;i--){
        if(a[now]-i > num) break;
        unsigned long long bt = st|(1ull<<i-1);
        int sz = num-(a[now]-i);
        int tms = 1ll*way*C[num][a[now]-i]%mod;
        int zz = (now+1)&1;
        if(now == n){dfs(now+1,bt,sz,tms);continue;}
        if(!pd((node){sz,bt},now+1)) continue;
        if(mp[zz][sz].count(bt)){
        mp[zz][sz][bt]=(mp[zz][sz][bt]+tms)%mod;
        }else {
        q[zz].push((node){sz,bt});
        mp[zz][sz][bt] = tms;
        }
    }
    }
}


int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> k;
    for(int i=0;i<=50;i++){
    unsigned long long u = 1ull<<i;
    imm[u] = i+1;
    }
    for(int i=0;i<=k;i++){
    C[i][0] = C[i][i] = 1;
    for(int j=1;j<i;j++) C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cin >> a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    mp[1][k][0] = 1; q[1].push((node){k,0});
    for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=k;j++) mp[(i&1)^1][j].clear();
    //cnt=0;
    while(!q[i&1].empty()){
        //cnt++;
        node kd = q[i&1].front(); q[i&1].pop();
        dfs(i,kd.now,kd.kk,mp[i&1][kd.kk][kd.now]);
    }
    //cout<<cnt<<endl;
    }
    cout<<1ll*ans*fast_pow(fast_pow(n,k),mod-2)%mod<<endl;
    return 0;
}