众所周知，线段树是OI当中十分重要的一个数据结构，所以我们今天就来讲一讲这个线段树。
首先，我们来了解一下什么是线段树。给定一个1～ n的区间，我们考虑，将这个区间进行二分，使得这个区间下拥有两个小区间，如此反复操作，直至这个区间被二分的只剩下一个点，那么这就是这棵线段树的叶节点，线段树的实质上是一颗二叉树，但未必是一颗完全二叉树。
那么，引入这样的线段树结构有什么用呢？ 我们可以发现，对于线段树上的一个结点，其父节点的信息一定是它和它兄弟的综合，也就是说，我们查询一个区间内的信息，就只需要遍历到一个（或多个的综合）代表着该区间的结点，就可以得到我们想要的信息，而不需要遍历线段上的每个点，显然这样的效率是会大大优化的，通过理论证明，我们可以发现，对于一棵线段树，他的每次操作的时间复杂度是O（qlog2（n））的，而它的最大空间复杂度可以近似看为O（4n），事实上可以证明，实际的空间复杂度约为O（大于等于2n的最小的2的整数次方）。这样的空间复杂度是较高的，因此我们常常使用离散化的方式降低线段树的空间复杂度。
接下来我们讲一下如何进行编程实现。
首先，我们考虑如何进行定点修改，显然对于一次修改，我们可以直接通过从整条线段上一直进行二分，找到它所对应的结点，再进行修改，之后回溯修改它父亲结点的信息即可，这样的效率显然是O（log2(n)）的。（标程略）
接下来我们来考虑如何查询区间内的信息，对于一个区间，显然要么它恰好是线段树上的一个区间，要么它就是由多个相邻区间拼凑而成，因此我们同样考虑进行递归回溯，使得这个区间内的所有子区间被查询到且不重复，进行合并处理的出最后答案，事实上这样的效率也是O（log2(n)）的。（附简单标程，pushdown会在后文中提到：））
1 query(int l,int r,int a,int b,int t){//查询某区间的值 2 //[l,r]是我们所要查询的区间，[a,b]是当前所递归到的区间 3 if (a==l&&b==r) return tree[t].val; 4 pushdown(t,a,b); 5 int m=(a+b)/2; 6 if (r<=m) return query(l,r,a,m,t*2); 7 if (l>m) return query(l,r,m+1,b,t*2+1); 8 return query(l,m,a,m,t*2)+query(m+1,r,m+1,b,t*2+1); 9 }
现在我们继续进行拓展，要如何进行区间修改呢？
我们考虑如果仅仅是按照定点修改的方法进行处理，每次操作的复杂度是O（nlog2(n)）,这样显然是复杂度过高不可接受的。
考虑采用类似查询的操作进行处理，这时出现了一个问题，我们只能更改到区间的值，如果这时我们查询了这个区间的子区间的值，显然这会导致我们的解不是当前状态下的解，因此，我们考虑将区间更改的值进行延迟传递，这就是我们常常听到的线段树的lazy标记（我个人习惯称之为mark）。 这里的延迟传递是什么概念呢？
我们可以这么认为，在进行一个操作时，只要我所递归到的区间的值是当前状态即可，否则我就没有更新的必要，因此，我们将每次要进行更新的值暂时存在一个已经访问到的区间，只有我递归到了它的子区间，我才需要进行值得更新传递，这也就是我们所说的lazy标记传递。（附上线段树延迟标记传递的函数）
1 void pushdown(int t,int l,int r){//传递延迟标记 2 //t是当前区间标号，[l,r]是当前区间 3 if (l==r||!tree[t].mark) return; 4 int x=r-l+1; 5 tree[t*2].val+=(x-x/2)*tree[t].mark; 6 tree[t*2+1].val+=(x/2)*tree[t].mark; 7 tree[t*2].mark+=tree[t].mark; 8 tree[t*2+1].mark+=tree[t].mark; 9 tree[t].mark=0;//清空当前标记 10 }
接下来，我们来看一下如何进行区间修改（附相关函数）
1 update(int a,int b,int l,int r,int t,int add_val){ //进行更改 ,a,b表示当前区间的端点；l,r表示更改区间的端点； 2 int x=b-a+1; 3 if (l<=a&&r>=b){ 4 tree[t].mark+=add_val; 5 tree[t].val+=x*add_val; 6 return; 7 } 8 pushdown(t,a,b); 9 int m=(a+b)/2; 10 if (m>=l) update(a,m,l,r,t*2,add_val); 11 if (m<r) update(m+1,b,l,r,t*2+1,add_val); 12 tree[t].val=tree[t*2].val+tree[t*2+1].val; 13 }
于是我们就讲完了线段树的一些基本操作了，撒花~~
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