【HDU3401】Trade-单调队列优化DP

测试地址：Trade

题目大意：给定连续T天的股市情况，包含四个参数api,bpi,asi,bsi，表示第i天买价为api一股，卖价为bpi一股，当天最多能买asi股，最多能卖bsi股，一天之内只能在买和卖中选择一个，另外限制任何一天手中股票不能超过maxp股，如果在一天进行了交易（买或卖），那么接下来W天都不能交易。一开始有无限的本金，但是没有股票，求最后最多能赚多少钱。

做法：每一天的操作无非就是三种：不交易，买，卖。按照这个写出状态转移方程，设dp[i][j]为第i天结束后手中持有j股的最大收益，则：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],max(dp[x][k]-api*(j-k))(x≤i-w-1,k<j),max(dp[x][k]+bpi*(k-j))(x≤i-w-1,k>j));

初始化：dp[0][0]=0，dp[i][j]=-inf(i≠0且j≠0)。

注意到如果枚举x和k的话，这是一个O(T*maxp)的式子，那么总的复杂度将达到O(T^2*maxp^2)，华丽爆炸。我们考虑枚举x的必要性，发现我们每次求dp[i][j]都要考察dp[i-1][j]的情况，也就是说dp[i][j]≥dp[i-1][j]，所以在k相等的情况下，dp[x][k]在x取最大值时最大，所以x总是i-w-1，复杂度降低到O(T*maxp^2)，仍然不能通过此题。再单独观察买和卖的式子，发现都能化成max(w[k])+c(l≤k≤r)的形式，对于买的式子，其中w[k]=dp[i-w-1][k]+api*k，c=-api*j，l=j-asi，r=j-1，卖的式子同理，我们发现在i和j相同的情况下，w[k]是由k唯一确定的变量（且可以O(1)算出），c是一个常数，且k的取值范围大小始终都是一个常数，这启示我们使用单调队列进行优化，于是复杂度降低到O(T*maxp)，完美解决该题。

以下是本人代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inf 2000000000
using namespace std;
int tt,T,maxp,w,api[2010],bpi[2010],asi[2010],bsi[2010];
int dp[2010][2010],h,t,q[2010];

int main()
{
  scanf("%d",&tt);
  while(tt--)
  {
    scanf("%d%d%d",&T,&maxp,&w);
	for(int i=1;i<=T;i++)
	  scanf("%d%d%d%d",&api[i],&bpi[i],&asi[i],&bsi[i]);
	
	for(int i=0;i<=T;i++)
	  for(int j=0;j<=maxp;j++)
	    dp[i][j]=-inf;
	dp[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=T;i++)
	{
	  int s=max(0,i-w-1);
	  h=1,t=0;
	  for(int j=0;j<=maxp;j++)
	  {
	    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);
		if (j>0)
		{
		  while(h<=t&&q[h]<j-asi[i]) h++;
		  while(h<=t&&dp[s][j-1]+api[i]*(j-1)>=dp[s][q[t]]+api[i]*q[t]) t--;
	      q[++t]=j-1;
		  dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[s][q[h]]-api[i]*(j-q[h]));
		}
	  }
	  h=1,t=0;
	  for(int j=maxp;j>=0;j--)
	  {
	    if (j<maxp)
		{
		  while(h<=t&&q[h]>j+bsi[i]) h++;
		  while(h<=t&&dp[s][j+1]+bpi[i]*(j+1)>=dp[s][q[t]]+bpi[i]*q[t]) t--;
	      q[++t]=j+1;
		  dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[s][q[h]]+bpi[i]*(q[h]-j));
		}
	  }
	}
    
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=maxp;i++)
	  ans=max(ans,dp[T][i]);
	printf("%d
",ans);
  }
  
  return 0;
}