【BZOJ3675】序列分割（APIO2014）-DP斜率优化

测试地址：序列分割
做法：本题需要用到DP斜率优化。
本题首先要注意到一个性质：只要选定了切割位置，无论按什么顺序切结果都相同。
令a,b,c$a,b,c$为切割后的三段区间的和，先切ab$ab$间和先切bc$bc$间的答案如下：
a(b+c)+bc=ab+ac+bc$a(b+c)+bc=ab+ac+bc$
c(a+b)+ab=ab+ac+bc$c(a+b)+ab=ab+ac+bc$
可见两种情况得到的结果相同，这样就可以类推到所有切割的情况。
令f(i,j)$f(i,j)$为前j$j$个数，切割i$i$次所得到的最大结果，那么我们显然可以写出状态转移方程：
f(i,j)=max{f(i−1,k)+[sum(j)−sum(k)]sum(k)}$f(i,j)=max\{f(i-1,k)+[sum(j)-sum(k)]sum(k)\}$
其中sum(x)$sum(x)$为前x$x$个数的和。那么令G=f(i,j)$G=f(i,j)$，K=−sum(j)$K=-sum(j)$，x=sum(k)$x=sum(k)$，y=f(i−1,k)−sum(k)2$y=f(i-1,k)-sum(k{)}^2$，则有：
y=Kx+G$y=Kx+G$
要使G$G$最大，就是对所有点对(x,y)$(x,y)$维护一个上凸壳，凸壳和斜率为K$K$的直线的切点就是我们选择的点。因为x$x$随k$k$的增加单调递增，K$K$随j$j$的增加单调递减，所以可以直接用单调队列维护凸壳，这题就做完了，时间复杂度为O(kn)$O(kn)$。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,k,q[100010],h,t;
ll a[100010],sum[100010],f[2][100010];
ll x[100010],y[100010];

bool larger(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2)
{
    return x2*y1>=x1*y2;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        f[0][i]=0;
    }

    int past=0,now=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        h=t=1;
        q[1]=i;
        x[1]=sum[i];
        y[1]=f[past][i]-sum[i]*sum[i];
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            ll K=-sum[j],X=sum[j],Y=f[past][j]-sum[j]*sum[j];
            while (h<t&&larger(x[h+1]-x[h],y[h+1]-y[h],1,K)) h++;
            f[now][j]=f[past][q[h]]+(sum[j]-sum[q[h]])*sum[q[h]];
            while (h<t&&larger(X-x[t],Y-y[t],x[t]-x[t-1],y[t]-y[t-1])) t--;
            q[++t]=j;
            x[t]=X,y[t]=Y;
        }
        swap(now,past);
    }

    printf("%lld",f[past][n]);

    return 0;
}