【BZOJ2337】XOR和路径（HNOI2011）-DP+概率期望+高斯消元

测试地址：XOR和路径
做法：本题需要用到DP+概率期望+高斯消元。
首先，位运算有一个很好的性质，那就是每一位实际上是相互独立的，所以我们按照二进制位把边权拆开，那么我们现在只需要解决一个子问题即可：在一个边权只有0$0$和1$1$的图上，求从点1$1$走到点n$n$的期望异或和。
我们可以令f(i)$f(i)$为从点i$i$走到点n$n$的期望异或和，我们发现这其实也是路径上异或和为1$1$的概率，那么1−f(i)$1-f(i)$自然就是异或和为0$0$的概率，那么对于每个点我们有状态转移方程：
f(i)=1deg(i)[∑w(i,j)=0f(j)+∑w(i,j)=1(1−f(j))]$f(i)=\frac{1}{deg(i)}[\sum _{w(i,j)=0}f(j)+\sum _{w(i,j)=1}(1-f(j))]$
那么我们把方程组列出来后，O(n3)$O(n^3)$解出所有未知数即可。注意我们已知f(n)=0$f(n)=0$，计算前要把所有已知条件都先带进去，然后就是自环和重边的处理，重边的话用前向星存图即可，主要是自环，要注意一个自环对一个点度数的贡献是1$1$而不是2$2$。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,first[110]={0},tot=0;
long double deg[110]={0},g[110][110];
struct edge
{
    int v,w,next;
}e[20010];

void insert(int a,int b,int w)
{
    e[++tot].v=b;
    e[tot].w=w;
    e[tot].next=first[a];
    first[a]=tot;
}

void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        insert(a,b,w);
        if (a!=b) insert(b,a,w);
        deg[a]+=1.0;
        if (a!=b) deg[b]+=1.0;
    }
}

void gauss(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int mx=i;
        for(int j=i;j<=n;j++)
            if (fabs(g[j][i])>fabs(g[mx][i])) mx=j;
        for(int j=i;j<=n+1;j++)
            swap(g[i][j],g[mx][j]);
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if (j!=i)
            {
                for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
                    g[j][k]-=g[j][i]*g[i][k]/g[i][i];
                g[j][i]=0.0;
            }
    }
}

void work()
{
    long double b=1.0,ans=0.0;
    for(int i=0;i<=30;i++,b*=2.0)
    {
        memset(g,0,sizeof(g));
        for(int j=1;j<n;j++)
        {
            for(int k=first[j];k;k=e[k].next)
            {
                int v=e[k].v;
                if (v!=n)
                {
                    if ((e[k].w>>i)&1) g[j][v]+=1.0,g[j][n]+=1.0;
                    else g[j][v]-=1.0;
                }
                else if ((e[k].w>>i)&1) g[j][n]+=1.0;
            }
            for(int k=1;k<=n;k++)
                g[j][k]/=deg[j];
            g[j][j]+=1.0;
        }
        gauss(n-1);
        ans+=g[1][n]*b/g[1][1];
    }
    printf("%.3Lf",ans);
}

int main()
{
    init();
    work();

    return 0;
}