【BZOJ3997】组合数学（TJOI2015）-Dilworth定理+DP

测试地址：组合数学
做法：本题需要用到Dilworth定理+DP。
我们首先把这些点按坐标从上到下，从左到右排成一排，我们发现在一条路径中选完一个点(x,y)$(x,y)$后，下一个必须选择一个(x′,y′)$(x^{\prime },y^{\prime })$使得x′≥x,y′≥y$x^{\prime }\ge x,y^{\prime }\ge y$，且两个坐标不能同时相等。
进一步研究，我们发现这是一个偏序关系，根据Dilworth定理，最小偏序路径覆盖等同于最长反链的长度，于是我们需要求出与上面的偏序关系相反的关系，然后按照这种关系连边（注意一定是从序列中较前的往较后的连边），就可以转化为求最长路的问题了。
于是最后我们建出的图是，每个点往它严格左下的所有点连边，这样边数就是O(n4)$O(n^4)$的，直接求最长路无法接受。然而根据建出的图的性质，我们直接维护右上角的二维前缀最大值转移就行了。于是我们就解决了这一题，时间复杂度为O(n2)$O(n^2)$。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,m;
ll a[1010][1010],f[1010][1010],mx[1010][1010];

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                scanf("%lld",&a[i][j]);

        mx[1][m+1]=0;
        for(int i=m;i>=1;i--)
        {
            f[1][i]=a[1][i];
            mx[1][i]=max(mx[1][i+1],f[1][i]);
        }

        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            f[i][m]=a[i][m];
            mx[i][m]=max(mx[i-1][m],f[i][m]);
            for(int j=m-1;j>=1;j--)
            {
                f[i][j]=mx[i-1][j+1]+a[i][j];
                mx[i][j]=max(max(mx[i-1][j],mx[i][j+1]),f[i][j]);
            }
        }
        printf("%lld
",mx[n][1]);
    }

    return 0;
}