18.冲击响应
线性时不变系统是一个拓普利兹矩阵H，该矩阵可以用h[n-m](其中n或m一定有一个0.例如：= hn,0表示其中第0列，即m=0；h是一个列向量)，所以等于h[n]。就含有矩阵的全部信息（0处于矩阵的中心）。
同时，也等于h[n-m]，即任何n,m点的值都用h向量表达出来，这个结论更重要。
使用delta冲击函数，可以得到该矩阵的第0列全部信息，即delta冲击信号经过该系统，得到的系统响应（输出），就可以得到系统的拓普利兹矩阵H。
根据前面对矩阵相乘的理解：系统输出相当于以delta为权值，对矩阵H的每一列进行加权，再对每一行进行求和，因为delta函数中只有n=0的位置有值，所以该操作得到H的第0列（这就是h[n],或者说hn,0）
线性时不变系统的一般化公式如下：系统的输出y[n]为关于n的函数，这里的h[n-m]由之前的推到得到。
将输入x变为冲击信号delta，得到delta冲击的响应就是h[n]，即含有H的全部信息（但是h到H需要一个转化过程，h不直接等于H）
利用冲击函数得到冲击相应h，从而得到矩阵H是一个标准过程，有趣。
例：计算缩放系统的冲击响应，即得到系统的h。利用冲击信号代替输入信号x[n],得到输入响应，最后根据H到h的转换公式，得到系统的拓普利兹矩阵。
注意：这个系统中只有主对角线的位置有值，其他位置为0。可以从三个角度理解：
第三，[H]n,m=h[n-m]，而h[n]=2delta[n]也是个LTI系统，所以h[n-m]=2delta[n-m]。
第一，就是h[n-m]只有在位置n和m同时为0处有值，而拓普利兹矩阵是根据第0列的元素，在对角线方向复制对应元素构成。
第二，将n和m带入其中，得到每个点的元素，只有在n=m的时候，h才存在值。
y[n]=x[n-2]位移系统的冲击响应。
位移系统是在上面的系统进行位移得到的结果。
第一种理解：将第0列h[0]向正方向移动两位，然后利用拓普利兹矩阵的性质构造H。
第二种理解：n-m-2=0的位置才有值。
Moving Average System的冲击响应。
递归平均系统的冲击响应。
首先，H{delta[n]}=delta[n]+alpha*delta[n]. delta[0]时才有值,所以n<0时,没有值.而根据递归的公式表达:y[0]=1,y[1]=alpha,y[1]=alpha^2.
有限长度的LTI系统，回忆循环矩阵的定义,大致与无限信号的矩阵类似,不同的是矩阵H中,每一列都是以第0列(有限信号的0列从第一列开始了哦)为基础的圆环位移(圆环模运算).
有限信号的冲击响应,其结果与无限的相同,但是注意0列和0行的位置.
有人问了:这个0是怎么规定的?
其实,是人为规定的.有限信号的定义从0到N-1,所以H的第一列为0很正常.
而无限信号,定义中间为0比较好看,(从数学上也是以中间为对称,两边无限延伸)
有限信号的冲击响应与无限的也一样喽
总结:
LTI系统相当于将输入信号乘以无限大小的拓普利兹矩阵(无限信号)或者是N*N(有限信号)大小的循环矩阵H.
一个LTI系统的冲击响应=进入该系统的冲击信号的响应,具有两个性质:
该冲击响应表示了系统矩阵H的第0列。
该冲击响应具有该LTI系统的全部信息。
那么这个h如何可以得到输入信号呢？具体公式如下：
19.卷积（无限长度信号）
三种计算LTI系统输出的方法：
H定义为公式或者算法，每个时间输入x[n]，从而得到输出y[n].
得到冲击响应h,从而得到系统的拓普利兹矩阵H,最后直接利用矩阵相乘得到.(无限矩阵不好算,不常用)
得到冲击响应h,并且根绝每个输入时间n,得到矩阵的第n行与信号x的内积.这叫做卷积.(常用)，注意卷积的符号表达。
卷积就是内积的一个序列(每个n对应一个内积)。
其中x[n]是向量，不同的n代表同一个输入信号；h[n]是个矩阵，每个n代表不同的向量，矩阵中的一行
从公式的理解上: h是系统的冲击响应,h[n]表示了系统矩阵H的第0列(h[n]=hn,0)的信息.而系统的第0行的信息是其时序的反转(h[m]=h0,-m),即h[m]=h[-n].
而第0行与x的内积就是y[0]的值,即y[0]=<h[m],x[m]>。同理，为了计算其他的y[n]，只要在第0行（h[m]）的基础上向上、下进行移位,得到H中相应的该行的值（拓普利兹矩阵性质）,并且与x求内积就好了，即h[n-m]x[m]。
这与矩阵角度理解完全相同！这与矩阵角度理解完全相同！这与矩阵角度理解完全相同！
因为卷积具有交换律，所以一定要确定h和x的先后顺序。
在第5步的内积计算中，不要对第二个信号进行复数共轭的变换（只对第一个进行复数共轭转置的操作，看前面章节）
例子：
当n为0时候，h[-m]含有H的全部信息，此处前提条件：h[n]=x[n]，所以h[-m]是就为x[-m].即m=0，-1，-2时有值。
计算n=-1时的输出
推出n小于等于-1时,y=0
计算n=0
计算n=1
计算n=2
以此类推，得到所有的值：
卷积例子2：
计算n小于0时
例如：n=2时，自变量m=0,1,2，一共有三个元素叠加。
如果n为更一般的情况，就是n大于0的时候，卷积就从自变量m=0开始，到m=n结束。
随着n的增加，y向2不断接近。
总结：
卷积就是输入信号和一系列冲击信号的的时序反转，位移的内积。
20.循环卷积（有限信号）
循环卷积例子1：
n=0时候
n=1的时候，在h[-m]s下，正向位移1位。
n=2时，正向旋转2位。
以此类推：
总结：
注意循环卷积clock的旋转操作。
练习课：
滤波器中冲击响应越长，及滤波器越大，则信号被模糊的越厉害，但是噪声除掉的比较好；而短的冲击响应可以保持信号的特性，但是噪声不会除掉的很好，这里面需要trade off
还有可以检测边缘的滤波器。
21.卷积的性质
卷积符合交换律。
串联: 信号经过两个连续的滤波器，相当于经过 该两个滤波器的卷积(作为一个整体滤波器)
一个冲击信号delta经过系统h1，通过与该系统的冲击响应h1与delta的卷积(有点绕，其实h1也就是所求)，就是得到该系统的矩阵H或者h1（也是该冲击信号的响应）。
而信号h1经过h2，就是h1与h2的卷积结果。
系统的并行性：
因果系统，n小于0的时候，输出信号为0. 因果系统就是一个下三角的拓普利兹矩阵。
卷积的持续时间：
这个持续时间表示信号存在值（x[n]>0）的n的个数是有界的即可。而不是说信号的时间n有界。
有限冲击系统，就是指h的duration是有限的，即h只在一段时间内有不为0的值。
无限冲击响应
假设两个信号是无限的，但是两个信号的持续D的长度是有限的。
两个无限长度信号的卷积为：Dx+Dh-1
具体：分别将Dx和Dh提出来，并且padding 上0,得到x'和y'。
总结：
22.稳定系统
从题目就是看得出来，想看一个复杂系统是不是够稳定，例如空间站，非常复杂，环境复杂，振动方式复杂，要计算整个系统是不是够稳定。
当alpha是1/2时，系统behave比较好，上限是2；而3/2时，系统的behave就不是那么好了，无穷大的一个上限。
BIBO稳定性：有界的输入产生有界的输出。
充分条件：
h的1范数小于无穷，则系统为BIBO。
证明其必要性：
只要证明再h的1范数为无穷的情况下，系统不是BIBO的，即存在一个信号的无穷范数小于无穷，但是输出y却等于无穷。
sign函数就是当自变量大于0，该函数为正，如果函数值为负，则该函数为负数。
例子：
FIR系统都是BIBO的。
总结：
