已知数列({a_n})共有(16)项,且(a_1=1),(a_8=4),(a_{16}=0),(left| a_{k+1}-a_k
ight|=1),(k=1,2,cdots,15).则满足这种条件的不同数列的个数为((qquad))
(mathrm{A}. 49) (qquadmathrm{B}. 588) (qquadmathrm{C}.1176) (qquadmathrm{D}.2352)
解析:
根据题意记$$a_{k+1}-a_k=d_k,k=1,2,cdots,15.$$
则(d_kinleft{1,-1
ight}),由于(a_1=1,a_8=4),则$$
d_1+d_2+cdots+d_7=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+cdots+(a_8-a_7)=a_8-a_1=3.$$
所以(d_1,d_2,cdots,d_7)中必然是(5)个(1),(2)个(-1),因此({d_k}(k=1,2,cdots,7))这个序列的个数为$$
m{C}_7^2=21.$$
同理可知序列({d_k}(k=8,9,cdots,15))的个数为$$
m{C}_8^2=28.$$综上,再根据分步乘法计数原理可知满足题意的不同数列的个数为$$21cdot 28=588.$$选项(
m{B})正确.