每日一题_191205

设函数(f(x)=(x^2-2x){ln}x+left(a-dfrac{1}{2} ight)x^2+2(1-a)x+a),(ainmathbb{R}).
((1)) 讨论(f(x))的单调性;
((2)) 当(a<-2)时,讨论(f(x))的零点个数.
解析:
((1)) 对(f(x))求导可得$$f'(x)=2(x-1)left(a+{ln}x ight),x>0.$$显然(f'(x))的两个零点为(1)与(mathrm{e}^{-a}),以下分类讨论.
情形一 当(a=0),此时(1=mathrm{e}^{-a}),(forall x>0,f'(x)geqslant 0),(f(x))单调递增.
情形二 当(a>0),此时(1>mathrm{e}^{-a}),(f(x))在(left(0,mathrm{e}^{-a} ight),(1,+infty))上单调递增.在(left[mathrm{e}^{-a},1 ight])单调递减.
情形三 当(a<0),此时(1<mathrm{e}^{-a}),(f(x))在(left(0,1 ight),left(mathrm{e}^{-a},+infty ight))单调递增,在(left[1,mathrm{e}^{-a} ight])单调递减.
((2)) 当(a<-2),若记(x_1=1,x_2=mathrm{e}^{-a}), 因为(f(x_1)=dfrac32>0),并且$$
egin{split}
f(x_2)=&left(x_2^{2-2x_2 ight){ln}x_2+left(-{ln}x_2-dfrac{1}{2} ight)x_2}2
&+2left[1-left(-{ln}x_2 ight) ight]x_2-{ln}x_2
=&-dfrac{1}{2}x_2^2+2x_2-{ln}x_2
<&2-{ln}x_2
<&0.
end{split}

[所以函数$f(x)$在$(x_1,x_2)$上有且仅有一个零点.又因为$exists x_3=dfrac{1}{9}<x_1$,使得]

egin{split}
fleft(x_3
ight)&=dfrac{35+68{ln}3+128a}{162}<dfrac{35+68{ln}3-256}{162}<0.
end{split}

[同时$exists x_4=mathrm{e}^{-4a}>x_2$,使得]

egin{split}
f(x_4)&=x_4^2{ln}x_4+2(1-a)x_4-2x_4{ln}x_4+left(a-dfrac{1}{2}
ight)x_4^2+a\
&>x_4^2{ln}x_4+2(1-a)x_4-2x_4^2+2ax_4^2+a\
&>x_4^2{ln}x_4+2(1-a)x_4+ax_4^2+2ax_4^2+ax_4^2\
&=2(1-a)x_4\
&>0.
end{split}

[ 综上可知$f(x)$有且仅有三个零点,且这三个零点分别位于区间$(x_3,x_1),(x_1,x_2),(x_2,x_4)$内.]