每日一题_191129

下列命题为真命题的个数是((qquad))
① ({ln}3<sqrt{3}{ln}2;) ② ({ln}pi<sqrt{dfrac{pi}{mathrm{e}}};) ③ (2^{sqrt{15}}<15;) ④ (3mathrm{e}{ln}2<4sqrt{2}).
(mathrm{A}. 1) (qquad mathrm{B}.2) (qquad mathrm{C}.3) (qquad mathrm{D}.4)
解析:
构造函数$$f(x)=dfrac{{ln}x}{x},x>0.$$易知(f(x))在(left(0,mathrm{e} ight))单调递增,在(left[mathrm{e},+infty ight))单调递减.
对于 ①, 由于(sqrt{3}<2<mathrm{e}),所以$$
fleft(sqrt{3} ight)<fleft(2 ight)Leftrightarrow {ln}3<sqrt{3}{ln}2. $$
对于 ②,由于(sqrt{mathrm{e}}<sqrt{pi}<mathrm{e}),所以
$$fleft(sqrt{mathrm{e}} ight)<fleft(sqrt{pi} ight)Leftrightarrow sqrt{dfrac{pi}{mathrm{e}}}<{ln}pi.$$
对于 ③,由于(mathrm{e}<sqrt{15}<4),所以$$
egin{split}
&fleft(4 ight)<fleft(sqrt{15} ight)
Longleftrightarrow & dfrac{{ln}4}{4}<dfrac{{ln}sqrt{15}}{sqrt{15}}
Longleftrightarrow & sqrt{15}{ln}2<{ln}15
Longleftrightarrow &2^{sqrt{15}}<15.
end{split}

[对于 ④,由于$3mathrm{e}{ln}2=2mathrm{e}{ln}left(2sqrt{2} ight)$,所以]

fleft(2sqrt{2}
ight)<fleft(mathrm{e}
ight)Leftrightarrow 3mathrm{e}{ln}2<4sqrt{2}.$$
综上,①③④ 为真命题,②为假命题.因此正确选项为$
m C$.