已知函数(f(x)=mathrm{e}^x(x+1)-a),(g(x)=mathrm{e}^{2-x}-a{ln}(3-x)),其中(ainmathbb{R}).
((1)) 若函数(f(x))的图象均在(x)轴上方,求(a)的取值范围;
((2)) 记(x_1)为函数(f(x))在((1,2))上的零点,若存在唯一(x_2inleft(0,1
ight)),使得(g(x_2)=0),且(x_1+x_2<2),求(a)的取值范围.
解析:
((1)) 由题易知$$forall xinmathbb{R},f(x)geqslant f(-2)=-dfrac{1}{mathrm{e}^2}-ageqslant 0.$$于是可得(a)的取值范围为(left(-infty,-dfrac{1}{mathrm{e}^2}
ight]).
((2)) 对(f(x))求导可得$$f'(x)=(x+2)mathrm{e}^x,$$由于(forall xinleft(1,2
ight),f'(x)>0).所以(f(x))在((1,2))单调递增,所以(f(x))在((1,2))存在零点(x_1)的充要条件为$$
f(1)<0<f(2).$$解得(2mathrm{e}<a<3mathrm{e}^2),又若记(t=2-x_2inleft(1,2
ight)),则(g(x)=0)在(xinleft(0,1
ight))有唯一解等价于方程$$dfrac{mathrm{e}^t}{{ln}(1+t)}-a=0$$在(tinleft(1,2
ight))有唯一解.记上述方程左侧为(h(t)),求导可得$$
h'(t)=dfrac{mathrm{e}tleft[(t+1){ln}(t+1)-1
ight]}{(t+1){ln}2(t+1)},tinleft(1,2
ight).$$显然(forall tinleft(1,2
ight),h'(t)>0).所以方程(h(t)=0)有唯一解的充要条件为$$
h(1)<0<h(2).$$解得(dfrac{mathrm{e}}{{ln}2}<a<dfrac{mathrm{e}^2}{{ln}3}).综上可知(a)必须满足 (2mathrm{e}<a<dfrac{mathrm{e}^2}{{ln}3}.) 由于$$
a=(x_1+1)mathrm{e}{x_1}=dfrac{mathrm{e}t}{{ln}(t+1)}.$$于是$$
mathrm{e}^{t-x_1}=(x_1+1){ln}(t+1)>0,t,x_1inleft(1,2
ight).$$所以(t>x_1)也即满足(x_1+x_2<2).因此所求(a)的取值范围是(left(2mathrm{e},dfrac{mathrm{e}^2}{{ln}3}
ight)).