每日一题_191124

已知函数(f(x)=(x-3)mathrm{e}^x-x^2+4x),(g(x)=xmathrm{e}^x-5x+1).
((1)) 证明:(f(x)<g(x));
((2)) 若(forall x<3,f(x)leqslant ax-3),求实数(a)的值.
解析:
((1)) 由题即证$$
forall xinmathbb{R},left(x^{2-9x+1 ight)mathrm{e}}{-x}+3>0.$$记上述不等式左侧为(h(x)),求导可得$$
h'(x)=left(-x^{2+11x-10 ight)mathrm{e}}{-x}=-left(x-1 ight)left(x-10 ight)mathrm{e}^{-x}.$$
因此$$
egin{cases}
& forall xleqslant 10,h(x)geqslant h(1)=-7mathrm{e}^{-1}+3>0,
& forall x>10,h(x)=left[x(x-9)+1 ight]mathrm{e}^{-x}+3>0.
end{cases}

[综上原不等式得证. $(2)$ 构造函数]

F(x)=f(x)-ax+3=(x-3)mathrm{e}^x-x2+(4-a)x+3,xinleft(-infty,3 ight).$$
由于(forall x<3,F(x)leqslant 0),注意到(F(0)=0),对(F(x))求导可得$$
F'(x)=(x-2)mathrm{e}^x-2x+(4-a),xinleft(-infty,3 ight),$$
情形一 当(a<2),则(F'(0)=2-a>0),则必然$$
exists x_0inleft(0,3 ight),forall xinleft(0,x_0 ight),F'(x)>0,F(x)>F(0)=0.$$不符题设,舍去.
情形二 当(a>2),则(F'(0)=2-a<0),则必然$$
exists x_0inleft(-infty,0 ight),forall xinleft(x_0,0 ight),F'(x)<0,F(x)>F(0)=0.$$
不符题设,舍去.
情形三 当(a=2),此时显然$$
forall xinleft(-infty,3 ight), F(x)=(x-3)left[mathrm{e}^x-(x+1) ight]leqslant 0.$$
综上可知(a=2).