已知(a,binmathbb{R}),(a+b=4),则(dfrac{1}{a^2+1}+dfrac{1}{b^2+1})的最大值为(underline{qquadqquad}).
解析:
记待求表达式为(M),设$$
t=1-ab=1-a(4-a),ainmathbb{R}.$$则(t)的取值范围为([-3,+infty)).则$$
egin{split}
M&=dfrac{b2+1+a2+1}{(a2+1)(b2+1)}
&=dfrac{(a+b)2+2(1-ab)}{(a+b)2+(ab-1)^2}
&=dfrac{16+2t}{16+t^2}
&=2cdot dfrac{8+t}{16+left[(8+t)-8
ight]^2}
&=dfrac{2}{(8+t)+dfrac{80}{8+t}-16}
&leqslant dfrac{2}{2sqrt{80}-16}
&=dfrac{sqrt{5}}{4}+dfrac{1}{2}.
end{split}
[ 上述不等式当且仅当$8+t=dfrac{80}{8+t}$,即$t=4sqrt{5}-8$时取等,因此所求表达式$M$的最大值为$dfrac{sqrt{5}}{4}+dfrac{1}{2}$.]