已知椭圆(mathit{Gamma}: dfrac{x^2}{4}+dfrac{y^2}{2}=1),过点(P(1,1))作倾斜角互补的两条不同直线(l_1,l_2),设(l_1)与椭圆(mathit{Gamma})交于(A,B)两点,(l_2)与椭圆(mathit{Gamma})交于(C,D)两点.
((1)) 若(P(1,1))为线段(AB)的中点,求直线(AB)的方程;
((2)) 记(lambda=dfrac{|AB|}{|CD|}),求(lambda)的取值范围.
解析:
((1)) 法一 若记(P(x_0,y_0)),则当(P)为弦(AB)的中点时,由中点弦方程可得直线(AB)方程为$$
dfrac{x_0x}{4}+dfrac{y_0y}{2}=dfrac{x_02}{4}+dfrac{y_02}{2}.$$因此所求直线方程为(x+2y-3=0).
法二 由题显然(AB)的斜率存在,设点(Q(x,y))是直线(AB)上任意一个异于(P)点的的点,则由椭圆的垂径定理知(OP)直线的斜率与(PQ)直线的斜率乘积为(-dfrac{b^2}{a^2}),其中(a,b)分别为椭圆的半长轴,半短轴.即有$$
dfrac{y-1}{x-1}cdot dfrac{1-0}{1-0}=-dfrac{2}{4}.$$又即(x+2y-3=0).
((2)) 由题,设(l_1)的倾斜角为( heta),则(l_2)的倾斜角为(pi- heta),其中( heta)的取值范围为
$left(0,dfrac{pi}{2} ight)cupleft(dfrac{pi}{2},pi ight)$.于是直线$AB$的参数方程为 $$ egin{cases} & x=1+tcos heta,\ & y=1+tsin heta, end{cases} (t ext{是参数}). $$ 将以上参数方程代入椭圆方程并整理可得$$ left(dfrac{cos^2 heta}{4}+dfrac{sin^2 heta}{2} ight)cdot t^2+left(dfrac{1}{2}cos heta+sin heta ight)cdot t-dfrac{1}{4}=0.$$若记$A,B$两点对应的参数分别为$t_1,t_2$,则$$ egin{split} |AB|&=|t_1-t_2|\ &=dfrac{sqrt{left(dfrac{1}{2}cos heta+sin heta ight)^2-4cdotleft(-dfrac{1}{4} ight)cdot left(dfrac{cos^2 heta}{4}+dfrac{sin^2 heta}{2} ight)}}{dfrac{cos^2 heta}{4}+dfrac{sin^2 heta}{2}}\ &=f( heta). end{split} $$则 $$ egin{split} lambda&=dfrac{|AB|}{|CD|}\ &=dfrac{f( heta)}{fleft(pi- heta ight)}\ &=sqrt{dfrac{cos^2 heta+3sin^2 heta+2sin hetacos heta}{cos^2 heta+3sin^2 heta-2sin hetacos heta}}\ &=sqrt{1+dfrac{4 an heta}{3 an^2 heta-2 an heta+1}}. end{split} $$由于$ heta$的取值范围为 $ left(0,dfrac{pi}{2} ight)cupleft(dfrac{pi}{2},pi ight)$ ,所以$lambda$的取值范围为$left[dfrac{sqrt{6}-sqrt{2}}{2},1 ight)cupleft(1,dfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{2} ight]$.