每日一题_191108

函数(y=sqrt{3}left(dfrac{x}{3}-dfrac{2}{x} ight))图象为双曲线,则其焦点坐标为(underline{qquadqquad}).
解析:
法一 显然,该双曲线关于原点中心对称,但其焦点并未在坐标轴上,现拟将该双曲线通过旋转变换,使得新双曲线的焦点位于坐标原点.再反解出旋转变换前的焦点坐标.设将原双曲线绕着原点逆时针旋转( heta),设旋转后的双曲线上任意点的坐标为((a,b)),则旋转前坐标((x,y))与旋转后坐标((a,b))有如下关系(:)

[ egin{cases} &x=acos heta+bsin heta,\ &y=-asin heta+bcos heta, end{cases} ]

代入原函数表达式可得$$
Acdot a^2+Bcdot b^2+Ccdot ab+D=0.$$其中$$
egin{cases}
& A=cos^2 heta+sqrt{3}sin hetacos heta,
& B=sin^2 heta-sqrt{3}sin hetacos heta,
& C=sin2 heta-sqrt{3}cos2 heta,
& D=-6,
end{cases}

[若要使得旋转后的双曲线的焦点位于坐标轴上,则交叉项的系数必须为$0$,也即$C=0$,又即 ]

sin2 heta-sqrt{3}cos2 heta=0.$$因此( heta)的一个解为(dfrac{pi}{6}).此时$$
(A,B,C)=left(dfrac{3}{2},-dfrac{1}{2},-6 ight).$$于是将原双曲线绕着坐标原点逆时针旋转(dfrac{pi}{6})后的双曲线方程为$$
dfrac{a^{2}{4}-dfrac{b}2}{12}=1.$$新双曲线的焦点坐标为((pm 4,0)).于是可得旋转前双曲线的焦点坐标为[
egin{cases}
&x=acos heta+bsin heta=pm 2sqrt{3},
&y=-asin heta+bcos heta=mp 2,
end{cases}
]因此所求双曲线的焦点坐标为(left(2sqrt{3},-2 ight))与(left(-2sqrt{3},2 ight)).

法二 易知,函数(y=sqrt{3}left(dfrac{x}{3}-dfrac{x}{2} ight))的两条渐近线为(x=0)与(y=dfrac{x}{sqrt{3}}).


作这两条渐近线的两条角平分线$y=sqrt{3}x$与$y=-dfrac{x}{sqrt{3}}$,若将双曲线放置于这两条角平分线所构成的平面直角坐标系中,则该双曲线的焦点位于直线$y=-dfrac{x}{sqrt{3}}$上,记为$M,N$,$A,B$为该双曲线的实轴端点.若记新坐标系下的双曲线方程为$$ dfrac{x^2}{a^2}-dfrac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$$记半焦距为$c$,则易知$$ egin{cases} &|AB|=2a=4,\ &dfrac{b}{a}=sqrt{3}. end{cases} $$ 解得$(a,b)=(2,2sqrt{3})$,从而$$ |MN|=2c=2sqrt{a^2+b^2}=8.$$于是易得两焦点也即$M,N$的坐标为$$ M(2sqrt{3},-2),N(-2sqrt{3},2).$$