如图,三棱锥(A-BCD)中,(AC=AD=BC=BD=10),(AB=8),(CD=12),点(P)在侧面(ACD)上,且到直线(AB)的距离为(sqrt{21}),则(PB)的最大值是(underline{qquadqquad}).
解析: 由题,到直线$AB$距离等于$sqrt{21}$的点构成的集合是一个圆柱面.这个圆柱面与$ riangle ACD$相
交所得为一椭圆.如图曲线$EGF$为该椭圆上一段,因此当$P$在曲线$EGF$运动时,始终满足题意,于是转求$BP$长度的最大值. 易知曲线$EGF$关于$AM$对称,显然,当$P$位于$E,F,G$三点当中的一点时,所求距离取得最大值.\ 设$M$为$CD$中点,连接$AM,BM$,易得$$ |AM|=|BM|=|AB|=8.$$因此$ riangle ABM$为正三角形,过$G$作$AB$的垂线,垂足为$H$,则$|GH|=sqrt{21}$,当$P$位于$G$点时$$ egin{split} |BP|&=sqrt{|BH|^2+|GH|^2}\ &=sqrt{left(|AB|-|GH|cdot cot 60^circ ight)^2+|GH|^2}\ &=sqrt{92-16sqrt{7}}. end{split} $$ 而当$P$位于$F$点时,过$F$作$AB$的垂线,垂足为$I$,则$|FI|=sqrt{21}$,易求得$$ an angle CAB=dfrac{sqrt{21}}{2}.$$于是$$ egin{split} |BP|&=sqrt{|BI|^2+|FI|^2}\ &=sqrt{left(|AB|-|AI| ight)^2+|FI|^2}\ &=sqrt{left(|AB|-dfrac{|FI|}{ anangle CAB} ight)^2+|FI|^2}\ &=sqrt{57}. end{split} $$ 显然,当$P$位于$E$$($或$F)$处时$|BP|$取得较大值$sqrt{57}$.因此所求距离最大值为$sqrt{57}$.