已知函数 (f(x)=egin{cases}
xmathrm{e}^x,xleqslant 0,\ -x^2+3x,x>0,
end{cases}) (g(x)=egin{cases}
f(x),xleqslant a,\-2x+4,x>a.
end{cases}) 若函数 (g(x)) 恰有两个零点, 则 (a) 的取值范围是 ((qquad))
$mathrm{A}. [0,2)qquad $ (mathrm{B}. [4,+infty)qquad) $mathrm{C}. [0,2)cup[4,+infty)qquad $ (mathrm{D}.[0,2)cup[3,+infty))
解析: 如图, 容易画出 (y=f(x)) 与 (y=-2x+4) 的图象, 因此可得关于参数 (a) 的讨论分界点 (0,2,3).
情形一 当 $ageqslant 3$ 时, $y=f(x),xleqslant a$ 有两个零点, $y=-2x+4,x>a$ 没有零点. 满足题设.情形二 当 (2leqslant a <3) 时, (y=f(x),xleqslant a) 有一个零点, (y=-2x+4,x>a) 没有零点. 不符题设.
情形三 当 $ 0leqslant a<2$ 时, (y=f(x),xleqslant a) 有一个零点, (y=-2x+4,x>a) 有一个零点. 满足题设.
情形四 当 $ a<0$ 时, (y=f(x),xleqslant a) 没有零点, (y=-2x+4,x>a) 有一个零点. 不符题设.
综上可得 (a) 的取值范围为 ([0,2)cup[3,+infty)). 因此选项 (mathrm{D}) 正确.