是否存在非零自然数k，使e^k<tan(k)？
Mahler(1953)的一个著名定理：(left|pi-frac{p}{q}|>q^{-42} ight|)对所有整数(p,q>2)成立
假设(e^k< an k)，那么
[1+e^{2k}<sec^2 kRightarrow |cos k|<(1+e^{2k})^{-1/2}
]
于是存在奇数(n)使得
[|pi-npi/2|<2|sin (k-npi/2)|=2|cos k|<(1+e^{2k})^{-1/2}
]
所以
[|pi-2k/n|<frac{4}{n(1+e^{2k})^{1/2}}
]
并且(3n<2k<4n)
引用定理
[n^{-42}<|pi-2k/n|<frac{4}{n(1+e^{2k})^{1/2}}
]
化简
[n^{-41}<frac{4}{(1+e^{3n})^{1/2}}<4e^{-3n/2}
]
计算得到(nleqslant 135)
链接：K. Mahler, On the approximation of π, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 56 (1953), 30–42,