这么久了才做LCA的题,以前是感觉很难不敢去尝试,现在学习了一番之后发现算法本身并不难。。。。
学习时看了这篇博文:https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html, 我觉得实现的过程最重要,就把博文中Tarjan算法实现的方法以及伪代码贴到下面:
Tarjan算法的基本思路:
1.任选一个点为根节点,从根节点开始。
2.遍历该点u所有子节点v,并标记这些子节点v已被访问过。
3.若是v还有子节点,返回2,否则下一步。
4.合并v到u上。
5.寻找与当前点u有询问关系的点v。
6.若是v已经被访问过了,则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。
遍历的话需要用到dfs来遍历,至于合并,最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。
下面上伪代码:
Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数 { for each(u,v) //访问所有u子节点v { Tarjan(v); //继续往下遍历 marge(u,v); //合并v到u上 标记v被访问过; } for each(u,e) //访问所有和u有询问关系的e { 如果e被访问过; u,e的最近公共祖先为find(e); } }
算法的运用以及实现过程的举例,博文中讲的很详细,我想补充一下我对Tarjan算法的理解,
当程序在dfs过程中遍历到某个节点 N 时, 以 N 节点为根节点搜索它的子节点,在它的某一子节点或某一子树都遍历过后,遍历过的点的父节点都会变成节点 N。那么假设N的子树中 i 节点被遍历了,其父节点变成N ; 遍历到其他子节点 j 时, 若恰好存在询问 i , j ,且 i , j 都在以 N 为根的树内,那么就可以直接得到 i, j 的LCA为 N 节点。那么在一次dfs过程中就都得到了所有询问的LCA
以下是两道例题的AC代码:
CODEVS 2370 小机房的树
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 #include<vector> 5 using namespace std; 6 const int MAXN=75005; 7 struct Edge{ 8 int to; 9 int cost; 10 int id; 11 }; 12 vector<Edge> vec[MAXN]; 13 vector<Edge> Q[MAXN]; 14 bool vis[MAXN]; 15 int p[MAXN], res[MAXN]; 16 long long d[MAXN], resd[MAXN]; 17 void add_edge(int u, int v, int c){ 18 vec[u].push_back((Edge){v, c, -1}); 19 vec[v].push_back((Edge){u, c, -1}); 20 } 21 void add_query(int a, int b, int id){ 22 Q[a].push_back((Edge){b, 0, id}); 23 Q[b].push_back((Edge){a, 0, id}); 24 } 25 int find(int x){ 26 return (p[x]==x)?x:(p[x]=find(p[x])); 27 } 28 void Union(int x, int y) 29 { 30 x=find(x); 31 y=find(y); 32 if(x==y) return; 33 else p[x]=y; 34 } 35 void tarjan(int now, int fa) 36 { 37 for(int i=0;i<vec[now].size();i++){ 38 Edge e=vec[now][i]; 39 if(!vis[e.to]&&e.to!=fa){ 40 /**/ 41 d[e.to]=d[now]+e.cost; 42 /**/ 43 tarjan(e.to, now); 44 Union(e.to, now);//注意now 和 e.to 的顺序 45 46 } 47 } 48 for(int i=0;i<Q[now].size();i++){ 49 Edge e=Q[now][i]; 50 if(vis[e.to]){ 51 res[e.id]=find(e.to); 52 resd[e.id]=d[e.to]+d[now]-2*d[res[e.id]]; 53 } 54 } 55 vis[now]=1; 56 } 57 int main() 58 { 59 int n,m,a,b,c; 60 while(~scanf("%d", &n)) 61 { 62 for(int i=0;i<=n;i++) p[i]=i; 63 for(int i=0;i<n-1;i++){ 64 scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); 65 add_edge(a, b, c); 66 } 67 scanf("%d", &m); 68 for(int i=0;i<m;i++){ 69 scanf("%d %d", &a, &b); 70 add_query(a, b, i); 71 } 72 73 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 74 memset(d, 0, sizeof(d)); 75 tarjan(0, -1); 76 for(int i=0;i<m;i++){ 77 printf("%lld ", resd[i]); 78 } 79 } 80 } 81 /* 82 9 83 1 2 0 84 1 3 0 85 2 4 0 86 2 5 0 87 3 6 0 88 5 7 0 89 5 8 0 90 7 9 0 91 4 92 9 8 93 4 6 94 7 5 95 5 3 96 */
CODEVS 1036 商务旅行
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 #include<vector> 5 using namespace std; 6 const int MAXN=75005; 7 struct Edge{ 8 int to; 9 int cost; 10 int id; 11 }; 12 vector<Edge> vec[MAXN]; 13 vector<Edge> Q[MAXN]; 14 bool vis[MAXN]; 15 int p[MAXN], res[MAXN]; 16 long long d[MAXN], resd[MAXN]; 17 void add_edge(int u, int v, int c){ 18 vec[u].push_back((Edge){v, c, -1}); 19 vec[v].push_back((Edge){u, c, -1}); 20 } 21 void add_query(int a, int b, int id){ 22 Q[a].push_back((Edge){b, 0, id}); 23 Q[b].push_back((Edge){a, 0, id}); 24 } 25 int find(int x){ 26 return (p[x]==x)?x:(p[x]=find(p[x])); 27 } 28 void Union(int x, int y) 29 { 30 x=find(x); 31 y=find(y); 32 if(x==y) return; 33 else p[x]=y; 34 } 35 void tarjan(int now, int fa) 36 { 37 for(int i=0;i<vec[now].size();i++){ 38 Edge e=vec[now][i]; 39 if(!vis[e.to]&&e.to!=fa){ 40 /**/ 41 d[e.to]=d[now]+e.cost; 42 /**/ 43 tarjan(e.to, now); 44 Union(e.to, now);//注意now 和 e.to 的顺序 45 46 } 47 } 48 for(int i=0;i<Q[now].size();i++){ 49 Edge e=Q[now][i]; 50 if(vis[e.to]){ 51 res[e.id]=find(e.to); 52 resd[e.id]=d[e.to]+d[now]-2*d[res[e.id]]; 53 } 54 } 55 vis[now]=1; 56 } 57 int main() 58 { 59 int n,m,a,b,c; 60 while(~scanf("%d", &n)) 61 { 62 for(int i=0;i<=n;i++) p[i]=i; 63 for(int i=0;i<n-1;i++){ 64 scanf("%d %d", &a, &b); 65 add_edge(a, b, 1); 66 } 67 scanf("%d", &m); 68 scanf("%d", &a); 69 for(int i=1;i<m;i++){ 70 scanf("%d", &b); 71 add_query(a, b, i); 72 a=b; 73 } 74 75 memset(vis, 0, sizeof(vis)); 76 memset(d, 0, sizeof(d)); 77 tarjan(1, -1); 78 long long ans=0; 79 for(int i=1;i<m;i++){ 80 ans+=resd[i]; 81 } 82 printf("%lld ", ans); 83 } 84 }