动态规划+kmp+矩阵快速幂
关于这题可以写出一个dp方程(f[i,j]表示准考证前i位中后j位为不吉利的数字的前j位的情况的个数)
f[i,j]=Σf[i-1,k],其中j表示不吉利数字前k个数字加上某个数字后变成为不吉利数字的前j位(比如不吉利数字122123,然后现在k=5,那么如果填个3,j=6(123123);填个2,j=3(122);填个1,j=1(1);填个0,j=0。
然后我们就可以发现……好像可以用kmp算法来优化每次k+某个数字可以转移到的j的位置……因为j包括了前k个数字,那么j一定是在k的失配函数+1位或者不存在。
但是这样的话时间复杂度依然因为n过大而报表……。
于是神奇的矩阵来了!
没有发现似乎式子是递推式么?!
也就是F(n)是可以通过F(n-1)得到的!F(n)表示f[n,0],f[n,1],f[n,2]……f[n,m-1]的集合,或者说……一个1*(m-1)的矩阵。
矩阵的定义白书有句话说的特别好:“把一个向量v变成另一个向量v',并且v'的每个分量都是v各个分量的线性组合”。什么是线性组合……就是一个线性方程组!对于这题来说,线性方程组就是:
F(n)=A*F(n-1) (这里A叫友矩阵,其实就是转移关系)
如果写出矩阵,式子就变成
[f(n,0) ] [a[0,0] ,a[1,0] ,a[2,0] ,……,a[m-1,0] ] [f(n-1,0) ]
[f(n,1) ] [a[0,1] ,a[1,1] ,a[2,1] ,……,a[m-1,1] ] [f(n-1,1) ]
[f(n,2) ] = [a[0,2] ,a[1,2] ,a[2,2] ,……,a[m-1,2] ] * [f(n-1,2) ]
[ …… ] [ …… ] [ …… ]
[f(n,m-1)] [a[m-1,1],a[m-1,2],a[m-1,3],……,a[m-1,m-1]] [f(n-1,m-1)]
式子中的a[i,j]表示不吉利数字前i位加上某个数字后可以转的j位的数量。
前面说的线性组合是什么意思?矩阵其实是一个线性方程组,形式就是:
a[0,0]*f[n-1,0]+a[1,0]*f(n-1,1)+a[2,0]*f(n-1,2)+……+a[m-1,0]*f[n-1,m-1]=f[n,0];
a[0,1]*f[n-1,0]+a[1,1]*f(n-1,1)+a[2,1]*f(n-1,2)+……+a[m-1,1]*f[n-1,m-1]=f[n,1];
a[0,2]*f[n-1,0]+a[1,2]*f(n-1,1)+a[2,2]*f(n-1,2)+……+a[m-1,2]*f[n-1,m-1]=f[n,2];
…………………………………………………
a[0,m-1]*f[n-1,0]+a[1,m-1]*f(n-1,1)+a[2,m-1]*f(n-1,2)+……+a[m-1,m-1]*f[n-1,m-1]=f[n,m-1]
看出来了么?
回到题目上,如果递推算F(n),显然不行,但是我们有一个递推式F(n)=A*F(n-1),它可以化为F(n)=A^n*F(0)。
那么现在要做的就是如何优化A^n,想到快速幂?是的,矩阵也有快速幂(具体到网上找吧,这就不是理解方面的了)
然后答案就是F(n)=A^n*F(0)。但是这个F(0)没什么意义啊,f[0,0]=1,其他都等于0。
这样像上面那样写出线性方程组的形式你就发现这个F(n)=a[0,0]+a[0,1]+a[0,2]+……+a[0,m-1],那最后就没有必要算F(0)*A^n,直接算上a[0,i]的和就行了!
然后联系一下A的意义……是不是有点感觉?A^i就是表示a[j,k]原来是前j位递推i次后能变成前k位的方案!蒟蒻感觉好神奇!
然后就好像初步学会了矩阵快速幂优化……
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