• 【以前的空间】bzoj1009 [HNOI2008]GT考试


      动态规划+kmp+矩阵快速幂

      关于这题可以写出一个dp方程(f[i,j]表示准考证前i位中后j位为不吉利的数字的前j位的情况的个数)

      f[i,j]=Σf[i-1,k],其中j表示不吉利数字前k个数字加上某个数字后变成为不吉利数字的前j位(比如不吉利数字122123,然后现在k=5,那么如果填个3,j=6(123123);填个2,j=3(122);填个1,j=1(1);填个0,j=0。

      然后我们就可以发现……好像可以用kmp算法来优化每次k+某个数字可以转移到的j的位置……因为j包括了前k个数字,那么j一定是在k的失配函数+1位或者不存在。

      但是这样的话时间复杂度依然因为n过大而报表……。

      于是神奇的矩阵来了!

      没有发现似乎式子是递推式么?!

      也就是F(n)是可以通过F(n-1)得到的!F(n)表示f[n,0],f[n,1],f[n,2]……f[n,m-1]的集合,或者说……一个1*(m-1)的矩阵。

      矩阵的定义白书有句话说的特别好:“把一个向量v变成另一个向量v',并且v'的每个分量都是v各个分量的线性组合”。什么是线性组合……就是一个线性方程组!对于这题来说,线性方程组就是:

      F(n)=A*F(n-1) (这里A叫友矩阵,其实就是转移关系)

      如果写出矩阵,式子就变成

      [f(n,0)  ]     [a[0,0]  ,a[1,0]  ,a[2,0]  ,……,a[m-1,0]  ]   [f(n-1,0)  ]

      [f(n,1)  ]     [a[0,1]  ,a[1,1]  ,a[2,1]  ,……,a[m-1,1]  ]   [f(n-1,1)  ]

      [f(n,2)  ]   = [a[0,2]  ,a[1,2]  ,a[2,2]  ,……,a[m-1,2]  ] * [f(n-1,2)  ]

      [ ……   ]     [  ……                                     ]   [ ……     ]

      [f(n,m-1)]     [a[m-1,1],a[m-1,2],a[m-1,3],……,a[m-1,m-1]]   [f(n-1,m-1)]

      式子中的a[i,j]表示不吉利数字前i位加上某个数字后可以转的j位的数量。

      前面说的线性组合是什么意思?矩阵其实是一个线性方程组,形式就是:

      a[0,0]*f[n-1,0]+a[1,0]*f(n-1,1)+a[2,0]*f(n-1,2)+……+a[m-1,0]*f[n-1,m-1]=f[n,0];

      a[0,1]*f[n-1,0]+a[1,1]*f(n-1,1)+a[2,1]*f(n-1,2)+……+a[m-1,1]*f[n-1,m-1]=f[n,1];

      a[0,2]*f[n-1,0]+a[1,2]*f(n-1,1)+a[2,2]*f(n-1,2)+……+a[m-1,2]*f[n-1,m-1]=f[n,2];

      ………………………………………………… 

      a[0,m-1]*f[n-1,0]+a[1,m-1]*f(n-1,1)+a[2,m-1]*f(n-1,2)+……+a[m-1,m-1]*f[n-1,m-1]=f[n,m-1]

      看出来了么?

      回到题目上,如果递推算F(n),显然不行,但是我们有一个递推式F(n)=A*F(n-1),它可以化为F(n)=A^n*F(0)。

      那么现在要做的就是如何优化A^n,想到快速幂?是的,矩阵也有快速幂(具体到网上找吧,这就不是理解方面的了)

      然后答案就是F(n)=A^n*F(0)。但是这个F(0)没什么意义啊,f[0,0]=1,其他都等于0。

      这样像上面那样写出线性方程组的形式你就发现这个F(n)=a[0,0]+a[0,1]+a[0,2]+……+a[0,m-1],那最后就没有必要算F(0)*A^n,直接算上a[0,i]的和就行了!

      然后联系一下A的意义……是不是有点感觉?A^i就是表示a[j,k]原来是前j位递推i次后能变成前k位的方案!蒟蒻感觉好神奇!

      然后就好像初步学会了矩阵快速幂优化……

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    type
      arr=array[0..25,0..25]of longint;
     
    var
      a,c,tmp:arr;
      b,p:array[0..30]of longint;
      i,j,k,l,n,m,mm,sum:longint;
      ch:char;
     
     
    procedure mul(var x,y:arr);
    var
      i,j,k:longint;
    begin
      for i:=0 to m-1 do
        for j:=0 to m-1 do begin
          tmp[i,j]:=0;
          for k:=0 to m-1 do
            tmp[i,j]:=(tmp[i,j]+x[i,k]*y[k,j])mod mm;
        end;
      for i:=0 to m-1 do
        for j:=0 to m-1 do
          x[i,j]:=tmp[i,j];
    end;
     
     
    begin
      readln(n,m,mm);
      for i:=1 to m do begin
        read(ch);
        b[i]:=ord(ch)-ord('0');
      end;
      j:=0;
      p[1]:=0;
      for i:=2 to m do begin
        while (j>0) and (b[j+1]<>b[i]) do j:=p[j];
        if b[j+1]=b[i] then inc(j);
        p[i]:=j;
      end;
      for i:=0 to m-1 do
        for j:=0 to 9 do begin
          k:=i;
          while (k>0) and (b[k+1]<>j) do k:=p[k];
          if b[k+1]=j then inc(k);
          if k<>m then c[i,k]:=(c[i,k]+1)mod mm;
        end;
      fillchar(a,sizeof(a),0);
      for i:=0 to m-1 do
        a[i,i]:=1;
      while n>0 do begin
        if n and 1=1 then mul(a,c);
        mul(c,c);
        n:=n>>1;
      end;
      sum:=0;
      for i:=0 to m-1 do
        sum:=(sum+a[0,i]) mod mm;
      writeln(sum);
      readln;
      readln;
    end.
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